Optimierung eines Regelkreises mit Tischanalogrechner und Digitalzusatz
Anlagen Sonderdruck
Informationstechnik
elektronische datenverarbeitung
(1968) 6
S. 293-297
H. Kramer
Optimierung eines Regelkreises
mit Tischanalogrechner und
Digitalzusatz
ASD 030/0968
Optimierung eines Regelkreises mit Tischanalogrechner und
Digitalzusatz
Mit 6 Bildern
H. Kramer, Konstanz
Zusammenfassung: Am Beispiel eines Regelkreises wird gezeigt, wie schon mit einem Tischanalogrechner und
angeschlossenem Digitalzusatz die Optimierung einer dynamischen Funktion durchgefiihrt werden kann. Es wird eine
Schaltung angegeben, die automatisch das Optimum sucht und dort den Rechner anhält, dem dann die optimalen Werte
zu entnehmen sind.
Summary: A three-parameters optimization problem of functionalis solved by a table-top analogue computer. The
example described is a controlsystem optimization. Successive one-parameter optimizations are usedtofind the opti-
mum. An automatic iteration circuit is connected with a digital coupling system. It runs by steps to the optimal para-
meters and stops the computing system. The optimal values are stored by integrator accumulators.
Die Optimierung eines Regelkreises mit PID-Regler
nach einem vorgegebenen Optimierungskriterium Op(xy)
(xy: Regelabweichung) ist mit der Aufgabe identisch, das
Minimum einer Hyperfläche zu finden, die durch die
Funktion Op(xy) = Op (VR, Ky, Tp) festgelegt ist. Die
Koordinaten des vierdimensionalen Raumes, in dem sich
diese Fläche aufspannt, sind die Regelparameter Vp,
Ky und Tp sowie die Funktion Op(xyw).
Wenn die Nachbildung der Regelstrecke nicht zu aufwendig
ist, kann eine solche Aufgabe schon mit einem kleinen
Analogrechner durchgefiihrt werden, den man mit einem
Zusatzgerät mit digitalen Elementen koppeln kann. Für
das nachfolgende Beispiel genügt bereits ein Analog -
rechner mit 19 Rechenverstärkern, von denen 8 als Analog-
speicher verwendet werden. Eine derartige Anordnung
ist als die einfachste Form eines hybriden Analogrechners
zu bezeichnen.
Aufgabe
Für eine Regelstrecke, die aus drei Verzögerungs-
gliedern
VM = 10
T,= Is
Wea 5
T, = 0,5s
V3=1
T, = 0,1s
besteht, sind die optimalen Werte Vp, Ky und Tp eines
PID-Reglers
1 Axy
(y: Stellgröße)
zu ermitteln, die im Bereich Vp < 1, Kı< 15°’ und
Tp < 0,55 liegen. Die Optimierung soll so erfolgen, daß
das Zeitintegral der quadratischen Regelabweichung mög-
lichst klein wird, d.h.
Op(xw) = Rp: dt
Die Integralfunktion Op(x,,) ist aus der Regelabweichung
Xy Zu errechnen, die am simulierten Regelkreis bei
sprungförmiger Störung entsteht. Es genügt, die Integra-
tionsdauer gleich der Einschwingzeit des Regelkreises
zu wählen, da dann praktisch kein Beitrag mehr zum
Integral geliefert wird.
2
— Min
Optimierungsverfahren
Aus der Vielzahl der Optimierungsverfahren wurde das
nach Gauß-Seidel ausgewählt, weil es mit kleineren
Analogrechnern weniger aufwendig zu verwirklichen ist,
Bei einem Wert des Kriteriums op", K°’, TS’)
beginnend, wird zunächst ein Parameter,z.B. Vp,
solange variiert, bis keine Verbesserung der Funktion
Op(VR, Kj{°), Tp’) mehr zu erreichen ist, Danach wird
der nächste Parameter verändert und das Minimum von
Op(vR"', Ky, Tp°!) gesucht. Nachdem auch Tp variiert
wurde, beginnt man von neuem mit der Variation von VR:
Die drei Parameter werden, zyklisch vertauscht,
solange verändert, bis keine Verbesserung von Op mehr
zu erreichen ist. Man ist so auf der Hyperfläche in
Richtung der drei Parameter V_, Kr und Tp hinabge -
gewandert und hat den tiefsten Punkt der Mulde erreicht.
Natiirlich findet man nach diesem Verfahren bei kompli-
zierteren Optimierungsfunktionen nur das Minimum, auf
dessen Hang der angenommene Startpunkt lag.
Flußdiagramm
Um das Flußdiagramm leichter zu verstehen, verfolgen
wir zunächst für einen Parameter den Ablauf einer Teil-
optimierung. Der gewählte Parameter wird dabei mit
einer konstanten Schrittweite e verändert. Nach jedem
Schritt wird der neu ermittelte Wert des Kriteriums
Op") mit dem vorher berechneten Opt”?) verglichen. Ist
der neue Wert nämlich größer oder gleich dem vorheri-
gen, d.h, ist Op")- Op! "> 0 (dieser Fall soll digital
durch A = 1 gekennzeichnet werden), so führte die Para-
metervariation nicht zu der gewünschten Annäherung an
das Optimum.
Vom Startpunkt Op"aus (Bild 1) kann der 1. Schritt, der
durch den Zustand (OP) bezeichnet ist, demnach den
Op-Wert verkleinern (A = 0) (linkes Bild) oder vergrößern
(A=1) (rechtes Bild). Für 4= 0 ist das Signum von €
günstig, so daß dieser Schritt bereits zu einer Verklei-
nerung von Op führt. In nachfolgenden Schritten (Zustand:
OP) wird deshalb der Parameter in dieser Richtung so-
lange variiert, bis man erstmals A=1 erhält. Jetzt ist
das Minimum von Op gerade durchlaufen worden. Der
nachfolgende Zustand (ÖP) setzt nun den letzten Schritt
wieder zurück,
o oa
Op 5 Op 5
= c
< O <
} ON
& 4 a. g
7 en £
© XO | 19% OL we
5 on | 80, FO
Op SO” ! Op op:
OR co : | | | :
ae) | )
IB | | |
| | |
t+ mes |
Parameter Parameter
et
Bild i Teiloptimierung der Funktion Op nach einem Parameter
Zustandsfolge: OP, (OP), OP,...OP, OP.
Erhält man bereits beim ersten Schritt (O P) ein 4=1,
so wurde der Parameter in der falschen Richtung geän-
dert. Das Signum von € ist deshalb im folgenden Schritt
(© P) zu wechseln, um diesen ungünstigen Schritt wieder
rückgängig zu machen, Mit dem richtigen Vorzeichen
von € nähert man sich nun in €-Schritten (O P) wie
zuvor dem Teiloptimum von Op.
Im allgemeinen wird sich der Optimierungsablauf aus
vielen solchen Teiloptimierungen zusammensetzen, wie
dus dem Flußdiagramm (Bild 2) ersichtlich ist.
Anfangswerte setzen
"Repet. Rechnen"
m
Sign.E negat.
OP setzen
Pr 7
| con) |
LOp errechnen (OP) |
Sign.€ positiv
OP_setzen
0 chnen (OP H-FF l6schen
LOperrechnen (OP) _| OP_ setzen
® setzen | 7
PO nn
[H-FF lescher|
[Op errechnen (OP)
\
—-- - -.- - -.. —
nein
Op errechnen (OP) |
nen |
Bild 2
Flußdiagramm einer
Optimierung nach den
3 Parametern
Vr, Ky und Tp.
Vor Beginn der Rechnung sind die Anfangswerte im
analogen und digitalen Teil der ‘Anlage einzustellen,
darunter die Startwerte der Reglerparameter Vp”), Ky
und Tp” ! Der Optimierungsablauf wird durch die Opera-
tion "Repetierend Rechnen" vom Analogrechner gesteu-
ert. Im Analogrechner wird der gewählte Parameter (V)
pro Rechenschritt um € verändert, Während der einge-
stellten Rechenzeit ermittelt er den jeweiligen Kriteri-
umswert Op (im Flußdiagramm als gestrichelte Funk-
tionsblöcke erkennbar). Während der Pausenzeit des
Analogrechners trifft der Digitalzusatz die programm -
gemäße Entscheidung über den nächsten Rechenschritt
(ausgezogene Funktionsblöcke).
(0)
Zunächst berechnet der Analogrechner den Wert des
Kriteriums am Startpunkt Op!’ (Zustand: Ö P). Als
Variationsparameter wird V = Vp gewählt. Mit nega-
tivem € beginnend, erfolgt über die Zustände O P,
(eventuell O P), O P, Ö P die besprochene Teiloptimie-
rung dieses Parameters, Nach V = Ky folgt in einer
Schleife der Optimierungsablauf für Ky und dann in einer
zweiten Schleife der für Tp. Die äußerste Schleife im
Diagramm sorgt dafür, daß die Variation erneut mit Vp
beginnt.
Das Ende der Optimierung wird im vorliegenden Fall
nicht dadurch festgelegt, daß der Unterschied zweier
aufeinanderfolgender Op-Werte unter eine vorgegebene
Grenze sinkt. Die festzusetzende Grenze müßte dafür
auf die Schrittweite abgestimmt werden, was Informatio-
nen über die Hyperfläche voraussetzt. Hier wird das
Optimierungsende nur durch die Schrittweite € festgelegt.
Das Programm soll anhalten, wenn durch die vorgege-
bene Schrittweite keine bessere Annäherung an das Opti-
mum mehr möglich ist. Das ist der Fall, wenn alle
günstigen Optimierungsschritte (das sind die Zustände
OPundOP)A=1 ergeben. Deshalb wird am Anfang der
Rechnung und im Optimierungszyklus nach jedem neuen
Beginn mit Vp ein Halt-Flipflop (H) gesetzt. Jeder erfolg-
reiche Optimierungsschritt setzt dieses H-Flipflop zurück.
Findet während eines Zyklus kein erfolgreicher Schritt
statt, so steuert der Digitalzusatz den Analogrechner in
"Halt".
Die optimalen Werte für die drei Parameter sind nun bis
auf einen Fehlerabstand e gefunden. Fails gewünscht,
kann die Optimierung von hier aus mit einer kleineren
Schrittweite neu gestartet werden.
Schaltung des analogen und digitalen Teils
In den Bildern 3 und 4 ist dargestellt, wie das beschrie-
bene Verfahren auf einem Analogrechner mit Digitalzu-
satz zu verwirklichen ist.
Bild 3 zeigt in Blockdarstellung den simulierten Regel-
kreis mit den drei Analogspeichern für die Regelpara-
meter. Sie können mit den Schaltern S, und S, nachein-
ander um e verändert werden. S, steuert das Vorzeichen
von e. Nach jedem Schritt wird das aus xy, errechnete
Optimierungskriterium mit dem vorherigen Wert ver-
glichen, Die Entscheidung über diese Differenz A erhält
der Digitalzusatz. Der Rechentakt T setzt nun die Flip-
flops dem Flußdiagramm entsprechend um. Die von den
Flipflops angesteuerten Schalter S, bis S, wählen für den
nächsten Rechenschritt den gewünschten Parameter und
das Vorzeichen von e aus. Schließlich steuert S, den
Analogrechner in "Halt".
a a ı
| |
zt Re. timierungs- A |
= Ty geistrecke riterium
) Takt” '
r---I1-- -- -- 4
1 1 | 4 4
PID ~Regler I
Parameter |
Digitaler Teil des
Optimisators
Zustandsspeicher für
O,P, SignumE,
Ve K, und Halt.
|
|
|
|
|
|
| b Kh
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Digitalzusatz
Bild 3 Blockschaltung des Optimisators
Die detaillierte Rechenschaltung des analogen und digi-
talen Teils ist in Bild 4 wiedergegeben. Die Regelstrecke
mit Verzögerungsgliedern ist durch drei rückgeführte
Integrierer nachgebildet. Beim simulierten PID-Regler
ist der D-Anteil der Regelstrecke entnommen. Um eine
Variation der Reglerparameter Vp, Ky und Tp auf elek-
trische Weise zu ermöglichen, werden ihre Werte über
Multiplizierer in der Schaltung wirksam. Die momen-
tanen Werte liegen hierzu ständig in drei Speicherkreisen
vor. In einem Speicherkreis wird der einmal vorgegebene
Wert wihrend der Pausenzeit des Analogrechners von
einem komplementären Speicher (Sp) übernommen und
während der nachfolgenden Rechenzeit gehalten. Am
Beginn der Rechenzeit übernimmt ein normaler Speicher
(Sp) den Wert und hält ihn während der nächsten Pausen-
zeit. Zu diesem fortwährend umlaufenden Wert addiert
der komplementäre Speicher während der Repetierpause
das angebotene e.
Das Zeitintegral der quadratischen Regelabweichung des
jeweiligen Rechenschritts Op") wird ebenfalls gespeichert
und liegt bis zum Ende des nächsten Rechenschritts am
nachfolgenden Integrierer vor. So ist es möglich, die
Op-Werte zweier aufeinanderfolgender Rechnungen zu
vergleichen und mit einem Komparator die Entscheidung
über A=1 oder A=0 zur Steuerung des Digitalzusatzes
zu fällen.
Für die Benutzer kleinerer Analogrechner sei erwähnt,
daß sich die Ausgangsverstärker aller Multiplizierer
erübrigen, wenn man das Multipliziernetzwerk unter
Berücksichtigung seiner Eingangswertigkeit direkt auf
den Summenpunkt des nachfolgenden Verstärkers schaltet
und das Vorzeichen eines Eingangs wechselt. Der analoge
Schaltungsteil ist so bereits mit 19 Rechenverstärkern zu
erfüllen.
Im digitalen Teil der Schaltung sind folgende Zustände
der Optimierung durch Flipflops festgelegt:
0: } kennzeichnen die Zustinde O P, OP, OP
P: und O P im Ablauf einer Teiloptimierung
Ss: =1 Signum von e ist positiv
\R:=l variiere VR
Ky:= 1 variiere Ky
bzw.: Tp=Vr° Ky: variiere Tp
H: =1 bisher kein erfolgreicher Optimierungsschritt
Die Verknüpfung der Flipflops mit "UND"- und "ODER" -
Gliedern und ihre Steuerung entsprechend der A-Ent-
scheidung des Analogrechners ist aus dem spezifizierten
Flußdiagramm in Bild 5 zu entnehmen. In den digitalen
Funktionsblocks sind dort die Flipflop-Umsetzungen ein-
getragen, die in Bild 2 verbal ausgedrückt sind.
Zum Beispiel ist nach dem Zustand (O P) und (A = 0) die
Anweisung "H-FF löschen", "O P setzen" zu erfüllen.
Dazu sind die Flipflop-Umsetzungen H:=0 und P:=1
auszuführen. Der neue Zustand ist so durch
H=P:=0-P:A beschrieben (lies: Setze H:=1 und
Bild 4
Analoge und digitale
Rechenschaltung
P:=1, wenn 0 =1 "UND" P=1 "UND" A = 1).
EE 1
ED
1
1
anne eeeese eee eeee tan | Tome
Takt a]
&
(Ft
|
\—
Digitatzusatz
Analogrechner Va Ki To.
Digitalzusatz O=P=S=V=K =H: =0
I oP |
Le J
Vpi=1 Vez!
Bild 5
Flußdiagramm
mit Setzanweisungen
für die Flipflops
Aus Bild 5 sind für die 6 Flipflops folgende Umsetzan-
weisungen zu entnehmen:
O: =Ö-P+Öö-Pp O: =0-P-A+0-P-a
P: =0-P:-A+0-P-A PD: =0-P-A
S: =0.P’a+0-P-A §: =Ö-P+0-P.A
Vai = O-P-Vp- Ry Wri = O-P-Vp
Kr: =0-B vn Kı:-O Bm _
H: =0-P-W-Kı HB: =O'P-a+O:P'a
Ohne auf allgemeine Rechenregeln einzugehen, lassen
sich einige der Anweisungen leicht vereinfachen.
2.B. P: = O-B-(A+A)=0-P=0
So erhält man schließlich die Anweisungstabelle
0: =O Ö: =0-A
P: =O P: =0'P-A
S: =O°'aA 8: =0:P+O'P-A
VR: = O-P- Vp: Ky VR: =O'P-Vp
Kj: =Ö:5-W Ky: =O°P- Ky
H: =O°R-Vp- Ky H: =O-A
nach der der digitale Teil des Optimisators aufgebaut ist.
Das oberste "UND" -Glied der Schaltung realisiert z.B.
die Anweisung O: =0-A.
Die Anweisungen für die DA-Schalter S, bis S, ergeben
sich ohne weiteres aus den Zuordnungen in Bild 4, wenn
berücksichtigt wird, daß sich die Schaltkontakte des be-
nutzten Geräts für S,= 1 in Ruhestellung befinden.
Die Optimierung ist schließlich beendet, und S,steuert den
Analogrechner in "Halt", wenn während eines Optimie-
rungszyklus das H-Flipflop nicht-zyrtickgesetzt wurde. :
Somit ist: "Halt" = §,: = O-P Vp Ky-H. ®
Es ist möglich, daß die Hyperfläche in dem vorgegebenen
Bereich der Parameter keine Mulde hat, sondern nach
einer Seite offen ist. In diesem Fall ist die Variation
eines Parameters zu beschränken. In vorliegendem
Beispiel ist deshalb Tp bei Th max = 0,5 zu begrenzen.
Wird Tp max überschritten, so erhält der digitale Teil
diese Information über einen Komparator. Wie in Bild 4
punktiert eingefügt, wirkt die Überschreitung wie A=1
im digitalen Teil des Optimisators. Der letzte Schritt
wird zurückgesetzt und die Optimierung mit dem nächsten
Parameter fortgeführt.
Durchführung der Optimierung
Geeignete Anfangswerte für Vg, Ky und Tp (z.B. Vp = 0,2,
Kyj= 0,2 s"', Ty= 0,2 s), welche natürlich im stabilen
Bereich des Regelkreises liegen müssen, werden in die
Speicher übertragen. Alle Flipflops sind auf Null zu
stellen. Am Potentiometer (z) wird die Höhe der Störung
so eingestellt, daß x,, und der Wert des Kriteriums im "
Spannungsbereich des Analogrechners liegen. Für die
gegebenen Anfangswerte erhält man mit z= 0,3 eine aus-
reichende Aussteuerung. Dieser Wert kann in der Nähe
des Optimums bis ca. 0,6 erhöht werden.
Man überzeugt sich leicht, daß bei Integrationsgeschwin-
digkeitskonstanten von 10 s’! bereits eine Rechenzeit von
ca. 3 s genügt, um den Op-Wert zu errechnen. Sind auf
dem zur Verfügung stehenden Rechner größere Geschwin-
digkeitskonstanten wählbar, so ist die Rechenzeit im
gleichen Verhältnis zu kürzen.
Dem Takt (T) für den digitalen Teil ist insofern Beach-
tung zu schenken, als die Umsetzung der Flipflops
während der Haltezeit der Integrierer und Speicher
erfolgen muß. Bei Rechnern,. die durch mechanische
Relais gesteuert werden, kann es vorkommen, daß ein
am Ende der Rechenzeit entnommenes Taktsignal die
Flipflops, und somit die Schalter S, schneller umsetzt
als die Steuerschalter der Integrierer und Speicher. So
können Fehlschaltungen eintreten, die dafür sorgen, daß
das gesuchte Optimum nie ganz erreicht wird. Der Rech-
ner hält nicht an. Durch geeignetes Verzögern des Takt-
impulses im Digitalzusatz mit einem Zeitglied ist der
richtige Zeitpunkt der Umsetzungen einstellbar.
Nun kann der Analogrechner durch "Repetierend Rech-
nen" gestartet werden. Die Flipflops zeigen den Ablauf
der Optimierung an. Ist das Wertetripel nicht mehr zu
verbessern, so geht der Rechner selbsttätig in "Halt".
Wird danach eine bessere Annäherung an das Optimum
gewünscht, so ist Potentiometer (e) entsprechend zu
verkleinern. Durch Löschen aller Flipflops startet der
Rechner von neuem. Die optimalen Werte für Vr, Ky und
Tp im vorgegebenen Bereich liegen schließlich in den
drei Speichern vor und können gemessen werden.
Das behandelte Optimierungsproblem wurde auf einem
Telefunken-Tischanalogrechner RAT 740/741 gerechnet,
der zur digitalen Steuerung mit einem Digitalzusatz
DEX 100 gekoppelt war (Bild 6). Die Geräte wurden
freundlicherweise von der Fachabteilung Analogrechner,
AEG-Telefunken Konstanz, zur Verfügung gestellt, wofür
sich der Verfasser bedanken möchte.
Bild 6 AEG-TELEFUNKEN-Tischanalogrechner RA 741 mit Zweistrahloszillograph OMS 800 und Digitalzusatz DEX 100