Rechenbeispiele: Einführung in die Analog-Rechentechnik
Rechenbeispiele
1. Grundoperationen mit Summierern
1.1 Multiplikation mit einer Konstanten
1.2 Summe von drei Variablen
1.3 Lösung eines linearen Gleichungssystemes mit zwei Unbekannten
2. Grundoperationen mit Integrierern
2.1 Integration einer konstanten Eingangsgröße y =∫ a dt
2.2 Integration einer linear zeitabhängigen Variablen y =∫ (a·t + b) dt
3. Rechenoperationen mit der Multiplizierer-Einheit
3.1 Multiplikation
3.2 Division
y = x1·x2
y=
x1
x2
3.3 Quadrieren
y = x2
3.4 Quadratwurzel y =
x
3.5 Lösung einer quadratischen Gleichung
4. Realisierung trigonometrischer Funktionen
4.1 Bildung der Funktion y = sin x
4.2 Bildung der Funktion y = cos x
4.3 Bildung der Funktion y = sin 2x
5. Realisierung diskontinuierlicher Funktionen
5.1 Vergleich zweier Variablen (Komparator)
5.2 Bildung der Funktion y = sign x
5.3 Bildung der Funktion y = │x│
6. Lösung linearer Differentialgleichungen 1. Ordnung
6.1 Lösung der Differentialgleichung y’ = y
6.2 Lösung der Differentialgleichung y’ = -k·y
7. Lösung linearer Differentialgleichungen 2. Ordnung
7.1 Lösung der Differentialgleichung k3·y’’ + k2·y’ + k1·y = 0
7.2 Lösung der Differentialgleichung y’’ = - ω2 ·y
Die nachfolgenden Rechenbeispiele sollen einen einführenden Überblick über die Methoden
der Analog-Rechentechnik geben.
Auf Programmierungsdetails, wie die Variablen- und Zeitnormierung oder auf die Wahl von
Anfangsbedingungen wird bei diesen Beispielen nur so weit eingegangen als es für das
Verständnis erforderlich ist.
In den folgenden Beispielen werden die Variablen in dimensionslosen Maschinen-Einheiten
angegeben. Der Maschinen-Einheit +1 entspricht eine Rechenspannung von +10 Volt, der
Einheit -1 entspricht eine Spannung von -10V.
1. Grundoperationen mit Summierern
1.1 Multiplikation mit einer Konstanten:
Die Summierer des Analogrechners haben die
allgemeine Übertragungsfunktion:
y = -(x1 + x2 + 10 x3 )
(1.1)
Wird nur ein Eingang verwendet (siehe nebenstehende Schaltung a), reduziert sich Glei-chung
(1.1) auf:
y = - x.
Der Summierer arbeitet dann als einfacher Inverter.
Wird an zwei Summier-Eingänge die gleiche Eingangs-Variable gelegt (Schaltung b), so ergibt
sich für die Ausgangs-Variable:
y = - 2 x.
Der Summierer wirkt jetzt wie ein Multiplizierer, der die Eingangsgröße mit einem konstanten
Faktor 2 multipliziert.
Wird die Ausgangs-Variable yan einen Eingang zurückgeführt (Schaltung c), hat der Sum-mierer
die gleiche Funktion wie ein Koeffizienten-Potentiometer:
Wegen
y = -(x + y )
ergibt sich:
y = - 0,5·x.
Für die Schaltungsvariante d) folgt nach Gleichung (1.1):
y = -(10·x +y +y).
Daraus ergibt sich:
3y = -10·x
oder:
y = -3,33·x
1.2 Summe von drei Variablen:
y = x1 - 2,5·x2 + 0,5·x3 + 1
Die nebenstehende Rechenschaltung liefert am Ausgang des Summierers S1:
y1 = -( - 2,5·x2 + x1 + 1) .
Am Ausgang des Summierers S2 entsteht:
y2 = - 0,5·x3.
Der Summierer S3 liefert daher die Lösung:
y = -(y1 + y2 )
und damit:
y = x1 - 2,5·x2 + 0,5·x3 + 1.
Zahlenbeispiel 1:
x1= 0,4 x2= 0,2 x3 = -1,0
Die Lösung lautet:
y = 0,4
Zahlenbeispiel 2:
x1= -0,7 x2= 0,7 x3 = 0,9
Die rechnerische Lösung wäre:
y = -1,0.
Obwohl dieses Ergebnis im zulässigen Rechenbereich -1,0 ≤ y ≤ +1,0 liegt, ist das tatsächlich
gemessene Rechenergebnis aber falsch, da bereits der Summierer S1 übersteuert ist:
y1 = -(- 2,5·x2 + x1 +1) = -(-1,75 -0,7+1) = 1,45.
1.3 Lösung eines linearen Gleichungssystemes mit zwei Unbekannten:
x1 +0,5·x2 – 0,3 = 0
0,2·x1 + x2 + 0,3 = 0
Zur Trennung der Variablen werden
die Gleichungen umgewandelt:
x1 = -(0,5·x2 – 0,3)
x2 = -(0,2·x1 + 0,3)
In der nebenstehenden Rechenschaltung
werden diese beiden Gleichungen direkt
umgesetzt. Als Lösungen ergeben sich:
x1 = 0,5 x2 = -0,4.
2. Grundoperationen mit Integrierern
2.1 Integration einer konstanten Eingangsgröße
Die Integrierer des Analogrechners haben die allgemeine Übertragungsfunktion:
(2.1)
Wird nur der Integrierer-Eingang mit dem Gewichtsfaktor 1 verwendet, reduziert sich die
Gleichung (2.1) auf:
(2.2)
In der nebenstehenden Demonstrations-Schaltung
wird die Eingangsgröße x1 durch einen Summierer
gebildet:
Ist der Schalter S1 geöffnet, nimmt x1 den konstanten
Wert a = +0,4 an.
Bei geschlossenem Schalter S1 ändert sich x1 von
+0,4 auf -0,6.
Nach den Grundregeln der Integralrechnung gilt für
y
die Integration einer Konstanten a :
In
a dt = a·t
(2.3)
Nach Gleichung (2.2) gilt daher für die AusgangsVariable des Integrierers:
y = -x1·t – IC.
x1= +0,4
x1
(2.4)
x1= -0,6
t0
Das Bild 2.1 zeigt den zeitlichen Verlauf der Ausgangs-Variablen y .
Bild 2.1
t1
1, CH2: 5V/div
H: 1s/div
Zum Zeitpunkt t0 wird die Betriebsart des Integrierers von IC auf RUN geschaltet. Dadurch startet
der Integrationsvorgang mit dem Anfangswert +0,8.
Der Wert der Variablen y fällt entsprechend Gleichung (2.4) linear mit der Zeit ab.
Zum Zeitpunkt t1 wird x1 auf den Wert a = -0,6 umgeschaltet. Nach Gleichung (2.4) ändert sich jetzt
mit dem Vorzeichenwechsel von x1 auch die Richtung von y und ebenso auch die Geraden-Steigung,
da zum Zeitpunkt t1 auch der absolute Betrag von x1 von 0,4 auf 0,6 gestiegen ist.
2.2 Integration einer linear zeitabhängigen Variablen
Die Rechenschaltung des vorherigen Beispiels wird jetzt mit einem zweiten Integrierer erweitert.
Entsprechend einer Grundregel der Integralrechnung:
∫ ( a·t + b) dt = a
2
t 2 b t
nimmt nun die Ausgangs-Variable des
zweiten Integrierers einen quadratischen
zeitlichen Verlauf an.
Bild 2.2 zeigt den Ablauf des Integrationsvorganges:
Zum Zeitpunkt t0 werden beide Integrierer
gestartet.
Zum Zeitpunkt t1 wird wieder die EingangsGröße x1 des ersten Integrierers auf einen
negativen Wert umgeschaltet.
Bei jedem Nulldurchgang von x2 tritt bei y
ein Wendepunkt auf.
Zum Zeitpunkt t2 überschreiten die Ausgänge der beiden Integrierer ihren linearen
Rechenbereich von ±10V und laufen kurz
danach in den Sättigungsbereich, der durch die
Höhe der Betriebsspannung (±15V) bedingt ist.
y
x2
t1
t0
Bild 2.2
t2
CH1, CH2: 5V/div
H: 1s/div
3. Rechenoperationen mit der Multiplizierer-Einheit
Die allgemeine Übertragungsfunktion der Multiplizierer-Einheit wird durch folgende Gleichung
beschrieben:
U = A·(X1·(Y1-Y2) + Z2 –Z1)
(3.1)
Dabei sind X1, Y1, Y2, Z1, Z2 die Eingänge der Multiplizier-Einheit,
U ist der Ausgang und A ist der innere Verstärkungsfaktor der MultiplizierEinheit (A > 10.000).
Der zulässige Werte-Bereich für die Eingangs-Variablen der Multiplizier-Einheit ist abhängig von
der Betriebsart:
Multiplikation
Division
Quadrieren
Radizieren
-1 ≤ x1 ≤ +1
-1 ≤ x2 ≤ +1
-1 ≤ x1 ≤ +1 0 ≤ x2 ≤ +1
-1 ≤ x ≤ +1
0 ≤ x ≤ +1
a
)
Bild 3.1
3.1 Multiplikation
Für die Ausführung einer Multiplikation ist eine Schaltung laut Bild 3.1 a) erforderlich.
Aus Gleichung (3.1) wird dann:
y y==A·(x
1·x
A·(x
·x-2 -y).
y).
12
Daraus folgt weiter:
y·(A+1) = A· x1·x2
und wegen A >> 1 gilt daher:
y = x1·x2 .
3.2 Division
Für die Ausführung einer Division ist eine Schaltung laut Bild 3.1 b) erforderlich.
Aus Gleichung (3.1) wird für diesen Fall:
2
1
y = A·(-x .y + x )
Daraus folgt:
y·(1 + A·x2) = A·x1
Wegen A >> 1 gilt daher:
y·x2 = x1
oder:
y=
.
x1
x2
3.3 Quadrieren
Werden in der Schaltung des Bildes 3.1a) die Variablen x1 und x2 gleichgesetzt, arbeitet die
Multiplizier-Einheit als Quadrierer (siehe Bild 3.1 c):
y = x2.
Bild 3.2 zeigt die Übertragungs-Funktion für die Betriebsart y = x2.
In Bild 3.3 ist der zeitliche Verlauf der Funktion y = x2 für eine dreieckförmige Eingangs-Variable x
dargestellt.
y
x
Bild 3.2
Bild 3.3
CH1, CH2: 5V/div
H: 2ms/div
3.4 Quadratwurzel
Für die Berechnung einer Quadratwurzel ist eine Schaltung laut Bild 3.1 d) erforderlich. (Die im
Rückführungskreis eingefügte Diode stellt sicher, dass an den Eingängen X1 und Y2 keine
negativen Spannungen auftreten können. Das Rechenergebnis der Radizierschaltung tritt hier
nicht direkt am Ausgang der Multiplizier-Einheit auf, sondern erst nach der Diode).
Aus Gleichung (3.1) wird:
y = A·(-y2 + x) = A·x – A· y2
Daraus folgt wegen A >>1:
y2 = x
Bild 3.4
bzw.:
y=
.
In Bild 3.5 ist xdie Übertragungsfunktion der Multiplizier-Einheit für y =
dargestellt.
x
Bild 3.6 zeigt den zeitlichen Verlauf der Funktion für eine dreieckförmige Eingangs-Variable x.
Da die Quadratwurzel nur für positive Werte von x berechnet werden kann, muss vor die Multiplizier-Einheit eine Rechenschaltung nach Bild 3.4 geschaltet werden, um das bipolare Signal
des Dreieckspannungs-Generators in ein unipolares umzuwandeln.
y
x
Bild 3.5
yx
Bild 3.6
CH1, CH2: 5V/div H: 2ms/div
3.5 Lösung der quadratischen Gleichung
y = x2 – 0,7·x – 0,2
Der erste Summierer in der nebenstehenden
Rechenschaltung liefert an seinem Ausgang:
y1 = -(0,7·x + 0,2).
Am Ausgang des zweiten Summierers
entsteht:
Bild 3.7
2
2
y2 = -(y1 + x ) = -(x - 0,7·x - 0,2).
Für die Ausgangs-Variable des Inverters
gilt daher:
y = x2 – 0,7·x – 0,2.
Bild 3.8 zeigt den Verlauf dieser Funktion.
Die Gleichung besitzt zwei Wurzeln bei:
x1= -0,22 x2 = +0,92.
Weiters ist zu erkennen, dass für den
Bereich x ≤ -0,8 eine Übersteuerung der
Rechenschaltung eintritt.
4. Realisierung trigonometrischer Funktionen
4.1 Bildung der Funktion y = sin x
Der Dioden-Funktionsgeber des Analogrechners erzeugt die Funktion:
y = sin x
(-1 ≤ x ≤ +1).
Über einen Skalierungsfaktor
x=
α
90
ist die Eingangsvariable x damit proportional zu einem Winkel α, der im
Bereich
Bild 4.1
In Bild 4.1 ist die Übertragungsfunktion des Dioden-Funktionsgebers dargestellt.
Bild 4.2 zeigt den zeitlichen Verlauf der Aus-gangsVariablen y für eine dreieckförmige Eingangsvariable
x.
y
x
Bild 4.2
4.2 Bildung der Funktion y = cos x
Zur Realisierung der Cosinus-Funktion wird
folgende Beziehung genutzt:
cos α = sin (90˚ - α).(4.1)
Für x gilt wieder die gleiche Skalierung wie
im vorherigen Rechenbeispiel:
-90˚ ≤ α ≤ +90˚.
x=
α
90
Bild 4.3
CH1, CH2: 5V/div H: 2ms/div
Aus Gleichung (4.1) wird daher:
cos x = sin (1 – x).
(4.2)
Die Funktion y = cos x nimmt im Bereich
-1 ≤ x ≤ +1 nur positive Werte an.
Um das sicherzustellen, wird dem Summierer in der Rechenschaltung Bild 4.3 nicht
die Variable x, sondern ihr Absolut-betrag IxI
zugeführt.
Am Ausgang des Dioden-Funktionsgebers
entsteht somit das Ergebnis:
y = cos x
Bild 4.4
(-1 ≤ x ≤ +1).
(Die Absolutwert-Bildung einer Variablen
wird in Beispiel 5.3 näher beschrieben).
In Bild 4.4 ist die Übertragungsfunktion
der Rechenschaltung dargestellt.
y
x
Bild 4.5 zeigt den Verlauf der Ausgangsvariablen y für eine dreieckförmige Eingangs-Variable x.
Bild 4.5
CH1, CH2: 5V/div H: 2ms/div
4.3 Bildung der Funktion y = sin 2x
In diesem Beispiel soll aus zwei harmonischen Variablen
x1 = cos x und x2 = sin x
eine Variable mit doppelter Frequenz
gebildet werden:
y = sin 2x.
Die Berechnung basiert auf der
trigonometrischen Grundformel:
sin 2x = 2·sinx·cosx.
(4.3)
Die Variablen x1 = cos x und x2 = sin x
werden in der obenstehenden Rechenschaltung durch die beiden Integrierer erzeugt und einem
Multiplizierer zugeführt. (Die Wirkungsweise der Integrierer wird in Beispiel 7.2 näher betrachtet).
Das entstehende Produkt y* ist nach
y*
Gleichung (4.3):
y* = x1·x2 = ½· sin 2x.
(4.4)
Im anschließenden Summierer und einem
Inverter wird aus y* das Endergebnis gebildet:
y = 2·y* = sin 2x.
(4.5)
Wie in Bild 4.6 zu erkennen ist, besitzt die
Variable y* entsprechend Gleichung (4.4)
die doppelte Frequenz wie die Eingänge
x1 und x2, aber nur die halbe Amplitude.
x2
x1
Bild 4.6
CH1 – CH3: 5V/div H: 1s/div
5. Realisierung diskontinuierlicher Funktionen
5.1 Vergleich zweier Variablen x1, x2 (Komparator)
Die Variable x1 und die invertierte Variable x2
werden an die Eingänge eines offenen Verstärkers gelegt. Wegen der sehr hohen Verstärkung des Rechenverstärkers entsteht an
seinem Ausgang die Spannung x3, für die gilt:
x3 = -US für x1 > x2
x3 = +US für x1 < x2.
(+US und –US sind die Sättigungsspannungen des offenen Verstärkers (ca. ± 14V). Die Ausgangsspannung x3 wird anschließend auf die normale Maschinen-Einheit umgesetzt:
Die Diode unterdrückt die positiven Anteile von x3 , die negativen Anteile werden mit einem
Koeffizienten-Potentiometer auf den Variablen-Wert -1 begrenzt. Der nachfolgende Inverter
liefert daher das Ergebnis:
y = +1 für x1 > x2
y = 0 für x1 < x2
(5.1)
In Bild 5.1 ist der zeitliche Verlauf der Ausgangs-Spannung x3 für eine dreieckförmige EingangsVariable x1 und für eine konstante Eingangs-Größe x2 dargestellt.
Bild 5.2 zeigt die Umwandlung der Spannung x3 in die endgültige Ausgangs-Variable y.
x3
x3
x2
x1
y
CH1 –
Bild
5.1CH3: 5V/div H: 2ms/div
Bild 5.2
CH1, CH2: 5V/div H: 2ms/div
5.2 Bildung der Funktion y = sign x
Wird im vorhergehenden Rechenbeispiel die
Eingangsvariable x2 = 0 gesetzt, ändert sich
die Gleichung (5.1) zu:
y = +1 für x > 0
y = 0 für x < 0
Die Rechenschaltung liefert also die Funktion:
y = sign x.
(Wegen x2 = 0 ist der Inverter hier natürlich
nicht mehr erforderlich).
Bild 5.3 zeigt den zeitlichen Verlauf der Ausgangs-Variablen y für eine dreieckförmige
Eingangs-Variable x.
y
x, (x2)
Bild 5.3
5.3 Bildung der Funktion y = │x│
Die nebenstehende Rechenschaltung bildet
den Absolutwert einer Variablen x:
Für positive Werte von x ist die Diode D1
gesperrt, D2 ist leitend. Der offene Verstärker
arbeitet deshalb als einfacher Inverter:
x1 = -x.
Für negative Werte von x ist die Diode D2
gesperrt. Es gilt daher:
x1 = 0
Die nachfolgende Summierer-Schaltung liefert
die Ausgangs-Variable y:
y = -(x + 2·x1).
Es gilt daher:
y = x für x > 0
y = -x für x < 0.
Die Ausgangs-Variable y ist also immer
positiv:
y
x1
x
CH1 – CH3: 5V/div H: 2ms/div
Bild 5.4
y = IxI.
CH1 – CH3: 5V/div H: 2ms/div
Bild 5.4 zeigt den zeitlichen Verlauf des Absolutwertes y =IxI für eine dreieckförmige EingangsVariable x.
6. Lösung linearer Differentialgleichungen 1. Ordnung
6.1 Lösung der Differentialgleichung y’(t) = y(t)
Zur Lösung der Gleichung
y’(t) =y(t)
(6.1)
wird die nebenstehende Rechenschaltung verwendet.
Nimmt man an, dass am Eingang des Integrierers die
Ableitung y‘(t) liegt, so muss an seinem Ausgang die
Variable –y(t) entstehen.
Um die Gleichung (6.1) zu erfüllen, wird der Ausgang des Integrierers über einen Inverter an
seinen Eingang zurückgeführt.
Nach der allgemeinen Integrationsregel
a·t
∫e =
·e a·t
(6.2)
1
a
gilt für die Lösung der Gleichung (6.1), wenn die Konstante a =1 gesetzt wird:
y(t) = y(0) ·e t.
(6.3)
Bild 6.1 zeigt die Lösungen y(t) für verschiedene Anfangsbedingungen y(0). Als Zeitkonstante für
den Integrierer wurde dabei T = 1s gewählt.
Bild 6.2 zeigt drei oszillografisch ermittelte Lösungen. Der
Integrierer wurde zum Zeitpunkt t0 gestartet.
(Die Kurven wurden nacheinander aufgenommen und
zwischengespeichert).
t(0)=+0,5
+1,0
t(0)=+0,2
0
t(0)= -0,1
-1,0
t0
CH1:6.2
Bild
5V/div H: 0,5
Bild 6.1
6.2 Lösung der Differentialgleichung y’(t) = -k·y(t)
Die Berechnung von
y’(t) = -k·y(t)
(6.4)
erfolgt in gleicher Weise wie in Beispiel 6.1, allerdings muss
hier der Inverter durch ein Koeffizientenpotentiometer ersetzt
werden, da ja nicht y(t), sondern -k·y(t) an den Eingang des
Integrierers zurückgeführt werden soll.
Nach der Integrationsregel (6.2) ergibt sich jetzt mit dem Ansatz a = -k :
y(t) = y(0) ·e -k·t.
(6.5)
Bild 6.3 zeigt die Lösungen y(t) für verschiedene Koeffizienten k und für die Anfangsbedingungen y(0) = ±1. Als Integrierer-Zeitkonstante wurde dabei T = 1s gewählt.
Bild 6.2 zeigt wieder drei oszillografisch ermittelte Lösungen.
+1,0
k = 0,1
k = 0,5
0
k = 0,2
-1,0
t0
CH1:6.4
Bild
5V/div H: 5
Bild 6.3
7. Lösung linearer Differentialgleichungen2. Ordnung
7.1 Lösung der Differentialgleichung k3·y’’ + k2· y’ + k1 ·y = 0
Um eine Rechenschaltung für die
Lösung der Gleichung
k3·y’’ + k2· y’ + k1 ·y = 0
(7.1)
zu entwerfen, muss die Gleichung so
umgewandelt werden, dass die höchste
Ableitung y“ isoliert ist:
y“ = -
·(k2·y‘ + k1·y)
1
k3
(7.2)
Geht man davon aus, dass im obigen Blockschaltbild die zweite Ableitung y“ am Eingang des
ersten Integrierers liegt, so wird an seinem Ausgang die invertierte erste Ableitung –y‘ entstehen.
Am Ausgang des nächsten Integrierers wird dann y gebildet.
Der nachfolgende Summierer liefert die Summe: - (k2·y‘ + k1·y).
Damit die Gleichung (7.2) erfüllt ist, muss diese Summe über das Koeffizienten-Potentiometer k3
an den Eingang des ersten Integrierers zurückgeführt werden. Die Differentialgleichung ist damit
gelöst. Lediglich die vorgegebenen Anfangsbedingungen müssen den beiden Integrierern noch
zugewiesen werden.
In der Mechanik wird durch diese homogene Differentialgleichung 2. Ordnung der Bewegungsablauf eines Feder-Masse-Systems beschrieben, das durch die Masse m, die Federkonstante c
und die Dämpfungskonstante d definiert wird.
Bei einem solchen System stehen die an m angreifende Federkraft c ·y und die Dämpfung d·y‘
immer im Gleichgewicht mit der Trägheitskraft m·y“:
m·y’’ + d·y’ + c·y = 0.
(7.3)
(Die Variable y entspricht dem Schwingweg der Masse m, die Ableitung y‘ entspricht der
Geschwindigkeit und y“ entspricht der Beschleunigung).
Durch Vergleich der Gleichungen (7.1) und (7.3) ergeben sich die Zusammenhänge:
k3= m, k2 = d, k1 = c.
(Im Gegensatz zu allen vorangegangenen Rechenbeispielen sind die Koeffizienten k1 bis k3
hier also nicht dimensionslos).
Wird die Masse m zum Zeitpunkt t 0 um den Betrag y(0) aus der Ruhelage gebracht, führt sie eine
periodische Schwingung um die Ruhelage y = 0 aus.
Die Bilder 7.1 und 7.2 zeigen den Einfluss der Federkraft k1 auf die Schwingfrequenz der
Masse m.
Für beide Bilder gemeinsam wurde angenommen:
k3 = m = 0,8 k2 = d = 0,01 y(0) = -1 y‘(0) = 0.
K1 = 0,2
K1 = 0,8
Bild
CH1:7.1
Bild
5V/div H: 1
Bild 7.2
CH1: 5V/div H: 1
In den Bildern 7.3 bis 7.6 ist der Einfluss der Dämpfungskonstanten k2 auf das Schwingverhalten der Masse m zu erkennen.
Für alle vier Bildern gemeinsam wurde angenommen:
k3 = m = 0,8
k1 = c = 0,8 y(0) = -1 y‘(0) = 0.
K2 = 0,02
K2 = 0,2
CH1:7.3
Bild
5V/div H: 1
Bild 7.4
CH1: 5V/div H: 1
K2 = 1,0
K2 = 0,5
CH1:7.5V/div H: 1
Bild
Bild 7.6
CH1: 5V/div H: 1
Bild
7.2 Lösung der Differentialgleichung y’’ = - ω2 y
Wird in der Gleichung (7.1) des letzten Beispiels der Dämpfungsfaktor k2 = 0 gesetzt, erhält man
eine lineare Differentialgleichung 2. Ordnung, die eine ungedämpfte Schwingung beschreibt.
Aus Gleichung (7.1) wird:
k3·y’’ + k1 ·y = 0
oder:
y’’ = -
·y
k1
k3
(7.4)
Der Ausdruck
wird als Kreisfrequenz ω bezeichnet, wobei gilt:
k1
k3
ω = 2 π·f.
(7.5)
Gleichung (7.4) erhält damit die Form:
y’’ = - ω2 y.
(7.6)
Zur Lösung dieser Gleichung wird folgender Ansatz gewählt:
y’’ = -ω2 ·sin ωt
(7.7).
Besitzen die Integrierer in der nebenstehenden Rechenschaltung die ZeitKonstanten T = 1“ und die Gewichtsfaktoren C, so erhält man am
Ausgang des ersten Integrierers:
y’ = C· ω·cos ωt
(7.8)
Die zweite Integration liefert:
y = C2 ·sin·ωt
(7.9)
Wird der Ausgang des zweiten Integrierers über einen Inverter und mit dem Eingang des ersten
Integrierers verbunden, so muss gelten:
-ω2 ·sin ωt = - C2 ·sin ωt
Daraus folgt:
ω = C.
Wegen
ω = 2 π ·f
gilt daher für die Schwingfrequenz f :
f=
.
C
2π
Für einen Gewichtsfaktor C = 1 ergibt sich damit eine Schwingfrequenz von:
f = 0,159 Hz.
Für einen Gewichtsfaktor C = 10 ergibt sich eine Schwingfrequenz von:
f = 1,59 Hz.
Bild 7.7 zeigt die Ausgangs-Variablen
der beiden Integrierer.
Wie nach den Gleichungen (7.8) und (7.9)
zu erwarten ist, entstehen zwei um 90º
phasenverschobene Sinus-Signale.
y
Da es in der Praxis keinen Rechenverstärker mit idealen Eigenschaften und keine
Integationskondensatoren ohne Verluste
-y‘
gibt, tritt in der Rechenschaltung eine schwache
Schwingungsdämpfung auf.
Als Folge davon klingen die Amplituden
der beiden Sinus-Signale langsam ab.
Bild 7.7
CH1: 5V/div H: 1