Simulation von Schwingungssystemen mit Analogrechnern
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Ex «
H. Kramer
Simulation von
Schwingungssystemen
mit Analogrechnern
-
Beitrag aus dem Lehrgang:
Theoretische und praktische Einführung
in das Bearbeiten
von Regelungs- und Schwingungsproblemen
mit industriellen und selbstgebauten
Analogrechnern.
VDI - Bildungswerk, Düsseldorf 1969
Herr Oberbaurat Dr. rer. nat. H. Kramer
ist Dozent an der
Staatlichen Ingenieurschule Konstanz
INHALT
RB Mm fF re
Schwir
‚ende Behandlung von
igungsaufgaben
Einleitung
Qualitative Nachbildung einer linearen
Differentialgleichung 2, Ordnung. Ein-
läufiger Feder-Dämpfer-Masse-Schwinger
Quantitative Nachbildung der Schwingungs-
differentialgleichung
Normierung der unabhängigen Variablen -
Zeitnormierung
Normierung der abhängigen Variablen -
Amplitudennormierung
Abschätzung von Maximalwerten
Erregung durch Anfangswerte
Erregung durch eine Sprungfunktion
Erregung durch eine periodische Störung
Erzeugung ungedämpfter Schwingungen
Nichtlineare und kontinuierliche Systeme
mit Lösungen
Nichtlineare einläufige Schwinger
Mathematisches Pendel bei
kleinen und großen Ausschlägen
Schwinger mit nichtlinearer Dämpfung
Bistabiler Schwinger
Mehrläufige Schwinger
Zwei-Massen-System mit
nichtlinearem Dämpfer
Schwingungen kontinuierlicher Systeme
Schwingungen eines vorspringenden
Trägers
Literatur
Seite
12
15
16
17
17
19
19
21
I EINFÜHRENDE BEHANDLUNG VoN SCHWINGUNGSAUFGABEN
1. Einieitung
Aufgaben der Schwingungslehre führen in der
mathematischen Beschreibung stets auf eine oder
mehrere Differentialgleichungen 2.Ordnung. Der
Vorteil des Analogrechners, in einfacher Weise
Differentialgleichungen lösen zu können, prädesti-
niert ihn auch zum universellen Hilfsmittel bei der
Analyse von Schwingungsproblemen. Insbesondere
bei der Behandlung von nichtlinearen Schwingungs-
aufgaben ist er heute unentbehrlich geworden. Zu-
nächst sollen deshalb die vorbereitenden Arbeiten
zur Nachbildung einer Differentialgleichung 2.Ord-
nung mit dem Analogrechner skizziert werden.
2. Qualitative Nachbildung einer line-
aren Differentialgleichung 2.Ord-
nung. Einläufiger Feder-Dämpfer-
Masse-Schwinger
Ein schwingungsfähiges System sei nach Bild 1
durch eine Masse m, eine Feder mit der Feder-
konstanten c und einen geschwindigkeitsproporti-
onal wirkenden Dämpfer (z.B. Flüssigkeitsreibung |
auf der Unterlage) mit der Dämpfungskonstanten d
gegeben. Wird die Masse m zum Zeitpunkt t = 0 um
x(0) = x, aus der Ruhelage (x = 0) gebracht, führt
die Masse periodische Schwingungen um die Ruhe-
lage aus.
E . 7 7 Federkraft : ~Cx) m¥=--dx-cr
2 , im Trdgheitskraft: m& J ¥(0)-0 x(0)- xq
: I i x
4 ~~
1
x(0) = xy
x-@
Bild 1. Feder-Dampfer -Masse-Schwinger
Die an m angreifenden Kräfte
Federkraft : -cx
Reibungskraft: - dx
stehen zu jeder Zeit mit der
Trägheitskraft: m X
im Gleichgewicht. Die Ableitung nach der Zeit
4)
dt
Die Kraftgleichung
ist hier und später durch ( ) gekennzeichnet.
mXi=--dxX-cx
mit den Anfangswerten
*(0) = 0; x(0) = x, (1)
beschreibt somit den zeitlichen Verlauf der
schwingenden Masse.
Die Gleichung (1) ist nun mit geeigneten Elementen
des Analogrechners (Bild 2) in eine Rechenschal-
tung umzuwandeln. Hierzu löst man sie nach ihrer
höchsten Ableitung auf und erhält so die Normal-
form der Schwingungsgleichung 2. Ordnung
%=-d%-u2x (2)
. _d “ c
mit 65 m (Dämpfungsfaktor) und wy = m
(Eigenfrequenz).
Nimmt man x als bekannt an, erhält man je-
weils mit einem Integrierer -x und x (Bild 3).
Danach wird das angenommene X am Eingang des
1.Integrierers durch die nachgebildeten Glieder
- 6 x und we x entsprechend der
Gleichung (2) erfüllt. Die Anfangs-
werte x(0) und x(0) sind dem 1. und
2. Integrierer unter Berücksichtigung
der Vorzeichenumkehr der Elemente
" einzugeben.
Der so gewonnenen qualitativen Re-
chenschaltung sind die Geschwindig-
keit x(t) und die Elongation x(t) zu
entnehmen, Soll ebenfalls die Be-
schleunigung X(t) auftreten, kann sie
mit einem zusätzlichen Summierer
aus den Gliedern mit x und x gebildet
werden.
Bezeichnung Schaltung Symbol Rechenoperatian
UF
% £ Bay Aeae
a 982087
Potentiometer aa
' UE, - £2
da A A= Ertl Eo-E,)
0SasT
13
ue, 7
offener u =-V£
verstärken | UE? (> A £ >- A y~ 108
Umkehrer E —ı— A Az-E
Summierer Ei vy
A Ar CE
H -
Cit; 10 “
fo P:Az=-Eg
& IN i T
Integrierer ı e > A | RAG SSG fj aT-E£g
OL ver
P: Pause & 16. H:A=A(T) Toke
R: Rechnen &:1:70 .
A: Hast ’
Funkfionsgeber | 4 (E))-A A=ft(E)
SY
£9
Muffiplizierer — m M i A Av EyEp Ey
~ !
32
Komparator RP A AxE, (5,4 5270)
Af — Ax £o(S3+Sp 80)
37
Bild 2. Rechenelemente des Analogrechners
X= -6X- Wax
x
Anfangswerte: x (0)
x{0)
Bild 3. Qualitative Rechenschaltung des gedämpften Schwingers
3. Quantitative Nachbildung der
Schwingungsdifferentialgleichung
Das System nach Bild 1 soll folgende Werte haben:
m= 1 kps?/cm; b = 0,2 kps/cm; c = 0,81 kp’cm;
x(0) = lem; x(0) = 0.
Man erhält damit die quantitative Differentla.-
gleichung
X = -0,2s-l x -0,815°? x
mit x (0) = 1 cm;
x(0)=0
Die Zahlenwerte für § (=0,2), w2 (= 0,81, (0) = 0
und x{0) = 1 sind an den Potentiometern der
Rechenschaltung im Bild 3 ohne weiteres einzu-
stellen. Der Rechner liefert sogleich die gesuchten
Funktionen x(t) und x(t).
In vielen Fällen werden jedoch die Zahlenwerte
der Systemparameter nicht einstellbar sein. Des
halb sind im allgemeinen die beiden nachfolgenden
Normierungsoperationen durchzuführen.
3.1 Normierung der unabhängigen Variablen - Zeit-
normierung
Die Konstanten des nachzubildenden Systems, das
heißt die Faktoren der Differentialgleichung,
können außerhalb des am Rechner sinnvoll erfüll-
baren Bereichs von 0,01 bis 1 liegen, Unter
Berücksichtigung der Eingangsfaktoren ''10" der
Integrierer kann dieser Bereich von 0,01 bis 10
ausgedehnt werden.
z.B. mit den Werten:
m= 1 kps”/em; d= 2kps/cm; c = 81 kp/cm
x (0) = 0;
2
x (0) = lem
erhält man die Differentialgleichung
%=-257l &- 81 s-2 x, x(0)=1cm
Der Zahlenwert fiir wg (= 81) ist mit einem
Potentiometer nicht mehr zu verwirklichen.
Derartige Vorgänge laufen scheinbar zu schnell
( wo > 1s-l) für eine Nachbildung mit dem Ana-
logrechner ab. Gleichungen dieser Art können je-
doch durch eine Maßstabsänderung der unabhän-
gigen Variablen des Problems, der Problemzeit t,
für den Analogrechner aufbereitet werden. Man
führt dazu nach:
T= Act A: Transformationsfaktor (3)
eine dimensionsfreie Variable t(Maschinenvari-
able) ein.
Nach Bild 4 enisprechen
2>1s 7}: einer Maßstabsdehnung (Zeit-
dehnung),
A<1 sl: einer Maßstabsverkürzung (Zeit-
raffung).
4.44,
AT
4
px fad)
Bild 4. Zeitnormierte Funktion
Mit t = At ergibt sich aus der Schwingungsgleich-
ung (2), indem durch 12 dividiert und die Ab-
. dC) . el) Ly y . .
kürzung Gat) dt ( Y verwendet wird, die
Gleichung
2
" 6, _ So it den Anf. t (4)
zoe x) - mit den An swerten
x 7% 2 x ang
Durch eine geeignete Wahl von A lassen sich nun
die Koeffizienten dieser Differentialgleichung in
den Arbeitsbereich der Potentiometer bringen. Im
allgemeinen ist
AX Wo
zu setzen, wodurch der Koeffizient von x in die
Größenordnung von 1 kommt.
z.B. Aus der Differentialgleichung des vorherigen
Beispiels liest man ab: A = w,_ = Veis?=
fe)
9 sl. Man setzt nun A = 10 s-!, also gleich
einer Zehnerpotenz, um einfacher umrechnen
zu können und aus später noch beschriebenen
Gründen. Die transformierte Gleichung lautet
somit
x" = -0,2 x' -0,81 x
mit x' (0) = 219. - 0; x (0) = 1 em,
Das transformierte System ist so am Analogrech-
ner einstellbar geworden.
Das Integrierelement (Bild 2) erlaubt nun, über den
in Stufen wählbaren k-Faktor (z.B. 187! oder 1081
durch Änderung der Rückführungskapazität) den
Zeitablauf an der Maschine, die Maschinenzeit t*
zu beeinflussen. Es gilt
T=kt* (5)
Für k = 1s=#ist somit die Maschinenvariable t mit
der Maschinenzeit t* zahlenmäßig gleich.
Aus den Gleichungen (3) und (5) läßt sich die Maschi-
nenvariable eliminieren. Es ergibt sich dann zwi-
schen der Problemzeit t und der Maschinenzeit t*
die Beziehung
red, (6)
Wird also im letzten Beispiel k = 4 = 10 s-1 ge-
wählt, das heißt werden alle Integrierer mit diesem
k-Faktor gesteckt, läuft der Schwingungsvorgang in
"Echtzeit an der Maschine ab.
Da aber nur k-Werte von 1, 10, häufig auch 102
und 103 am Analogrechner verwirklicht sind,
können nur Systeme, die unter Zeitdehnung
(4 > 1s-1) und Wahl einer Zehnerpotenz transfor-
miert wurden, durch nachträgliche Erfüllung der
Echzeitbedingung: k = 4
in Problemzeit am Analogrechner wiedergegeben
werden.
Das Bild 5 zeigt die zeitnormierte Rechenschal-
tung aus dem Bild 3 in Echtzeitdarstellung.
ot7
a
2
OO
Bild 5. Zeitnormierte Rechenschaltung des gedämpften Schwingers
3.2 Normierung der abhängigen Variablen - Am-
plitudennormierung
Liegen für die Anfangswerte einer Differential-
gleichung zu große Werte vor, überschreiten die
Rechengrößen den durch die Elemente gegebenen
Bereiche von -1 bis +1. Extrem kleine Anfangs-
werte würden die Elemente unbefriedigend aus-
steuern und zu großen Fehlern führen. Diese ver-
stärkerbedingte Einschränkung des Wertebereichs
erfordert eine Normierung (für periodische Vor-
gänge - Amplitudennormierung) aller an Verstär-
kerausgängen auftretenden Rechengrößen.
Die zeitnormierte Differentialgleichung (4) führte
zur Rechenschaltung im Bild 5. Dort treten x’ und
x an den Ausgängen der Verstärker auf, die folg-
lich beide normiert werden müssen. Für eine ge-
gebene Aufgabe werden - mindestens in einem
gewissen Zeitbereich - die zu normierenden
Größen den Wertebereich re
1 1 1
- xX + . Ion !
m < * <txm mit x |x Im ax
- x + i =
m ex < +x, mit x, = Ik | max
einnehmen, bzw. durch ihre Maximalwerte divi-
diert in folgendem Einheitsbereich liegen
t
-l< a < +1,
xm
x
-le— < +1.
Xm
Deshalb sind x' und x in der Gleichung (4) ent-
sprechend
x! = x . x!
gs 2 (x' : lies: x-Strich-normiert)
=-6X— Og X
X(0)=Xg, X (0) =Xg und (7)
X= X- X
Tri mom
2.0. ofp (x : lies: x-normiert)
zu substituieren. x' und x
, Xo , sind dimensionslose Varia-
x)= i X(0)=Xg ple im Maschinenbereich -1
bis +1. x', die normierte
Ableitung, ist in folgendem
nicht zu verwechseln mit
{x)', der Ableitung von x.
Mit der Gleichung (7) erhält
man über
2
(x' x) = Fy! - 28 6 x
die zeit- und amplitudennormierte Differential-
gleichung
x x
m
Die Aufgabe des 1. Integrierers der Rechenschal-
tung im Bild 6 ist es, diese Gleichung zu inte-
grieren und x zu gewinnen. Der 2.Integrierer er-
rechnet x nach der leicht zu bestätigenden Inten- Jolin —
titat
‘ x
mit x (0) = — (8b)
x
1
xX
m
(x) =— x
x ~ m
Die Gleichungen (8a, 8b) führen in der bereits
besprochenen Weise auf die zeit- und amplituden-
normierte Rechenschaltung im Bild 6.
2
vO » @0
XE" OX” 52
x)= x10) x(0)=Xy
I_ ”, ’
[xcs Xm
Xm
Pa Bild 6
x = x’ Zeit- und amplituden-
Am, normierte Rechen-
schaltung
4. Abschätzung von Maximal-
werten
Um eine Aufgabe nach Abschnitt 3.2 zu
normieren, ist es zuvor notwendig, die
Maximalwerte aller in der Rechenschal-
tung auftretenden Variablen zu kennen.
Folgende Möglichkeiten können dieser
Vorbereitung nützlich sein.
Ve
r
. Das zu simulierende System ist in der axis
bereits genügend bekannt, oder es bestehen
Modelle, an denen die Maximalwerte bereits
meßtechnisch ermittelt wurden.
Aus der mathematischen Beschreibung des Sy-
stems mit den Anfangswerten oder den Stör-
zrößen können unter gewissen Annahmen Maxi-
malwerte abgeschätzt werden, die im allge-
meinen eine hinreichend optimale Normierung
der Variablen gestatten.
. In vielen Fällen, besonders bei nichtlinearen
Systemen, ist eine Abschätzung der Maximal-
werte nicht ohne weiteres möglich. Man gelangt
häufig schneller als durch eine eingehende
mathematische Analyse zur optimalen Schaltung,
wenn man über die Zeitnormierung durch eine
geeignete Wahl von 2 auf gute Einstellbarkeit
der Koeffizienten programmiert und grob ge-
schätzte, möglichst gleiche Maximalwerte für
die Variablen annimmt. Der probeweisen Rech-
nung mit der gefundenen Schaltung kann man
dann genügend genaue Maximalwerte entnehmen
und in einem zweiten Programmierschritt zur
optimalen Schaltung kommen. Übersteuert bei
der Proberechnung ein Integrierer, so können
die Eingangsgrößen durch vorgeschaltete Poten-
tiometer genügend herabgesetzt werden.
Für die lineare Schwingungsdifferentialgleichung
lassen sich die gesuchten Werte jedoch durch ein-
fache Abschätzungsanweisungen gewinnen. Sie
hängen davon ab, ob das System durch Anfangs-
werte oder durch Störgrößen in Schwingungen ver-
setzt wird,
4,1 Erregung durch Anfangs-
werte
Wird der lineare Feder-
Dämpfer-Masse-Schwinger
im Bild 7 durch die Anfangs-
werte x(0) = x, und x(0) =
Xo erregt, läßt sich die Lö-
sungsfunktion x(t) des unge-
dämpften Systems (6 = 0)
bekanntlich als Uberlagerung
der Teillösungen
x
I
ww
IN
£ ° “0 -8x-wfr
mV wen £
7 a ] - 8
EEE u meh)
IL .
Lt v Xm = Wo Xm,
i A ”
Ruhelage X=0 Xp
Bild 7. Schwinger durch Anfangswerte erregt
Daraus gewinnt man die Abschätzung für Kr
x (9a)
m”
Die Ableitung der ungedämpften Lösungsfunktion
nach der Zeit ergibt folgende Beziehung zwischen
dern maximalen Schwingweg x, und der maximalen
Schwinggeschwindigkeit x,,
x wx (9b)
m o*m
Für gedämpfte Systeme (d > 0) liegen die ge-
suchten Maximalwerte stets unter den nach (9a, b)
zu errechnenden Werten.
z.B. Mit den Werten:
6 = 4,5 s"1;02 = 900 s-t; x(0) = 0,3 cm und
x (0) = 12 cm/s
für das System im Bild 7 ergibt sich die Dif-
ferentialgleichung
-4,5 s-! x - 900 s-2 x,
x
die in Echtzeit zu simulieren ist,
Für die Zeitnormierung t = A t wählt man A =
10 s-}. Für die Maximalwerte ergeben sich
nach den Gleichungen (9a, b)
x
0,5 cm
m
15 cm/s bzw. x =1,5 cm
m m
Die Maschinengleichungen nach (8a, b) lauten
somit
(x! )'
‘bzw. (x)'
-0,45 x -3x mit x’ (0)
mit x (0)
0,8
0,6
3x
Zur Echtzeitsimulation ist an der Maschine
k =2 = 10s7! zu setzen.
Das berechnete Beispiel führt zur Rechenschaltung
im Bild 8. Die Lösungsfunktionen x (t) und x(t)
(x)= -G 46x -3x
x (0)=0,8
(x)'=3x’
x (0)=06
n=k=10577
oO .
— sin @
ru ot + x, cos Wot
{
darstellen. Bild 8
. Rechenschaltung für Echtzeitsimulation
der Schaltung sind im Bild 9a in Abhängigkeit von
der Maschinenvariablen t und im Bild 9b als
Phasendiagramm (x' aufgetragen über x) wieder-
gegeben. Die volle Aussteuerung des Einheitsbe-
reichs bestätigt, daß beide Variablen richtig nor-
miert wurden.
KATI; OD
Bild 9a. Lösungsfunktionen x (r) und x’({r) der
Schaltung im Bild 8
-7
+
+
Bild 9b. Phasendiagramm der Schwingerschaltung
im Bild 8
Bild 10. Rechenschaltung bei freier Wahl von i
Um den Aufzeichnungen die Problemwerte zu ent-
nehmen, ist m
1, die t-Achse mit dem festgesetzten A-Wert in
die Problemzeit t umzurechnen. In Bild 9a ent-
spricht so dem Gesamtmaßstab T= 15 eine Zeit
2, der Einheitsmaßstab für x' und x nach der
Gleichung (7) mit den Maximalwerten x! und x
zu multiplizieren. So entspricht in den Bildern
9a und 9b der normierten Größe x' = 1 eine
Geschwindigkeit von 15 cm/s und x = | ein
Schwingweg von 0,5cm.
Bei Verzicht auf eine Echtzeitsimulation des
letzten Beispiels hätte man auch A = wo = 30s-1
wählen können. Es errechnet sich dann
Xm = X,, = 0,5cm und die Maschinengleichungen
lauten jetzt
mit x'(0) =
mit x (0) =
€
„
IM
Sie führen zur Rechenschaltung im Bild 10,
Ein Vergleich mit der Schaltung im Bild 8 zeigt,
daß sich bei freier - nicht durch die Echtzeitbe-
dingung eingeschränkter - Wahl von A zwei Poten-
tiometer wegen x,,, = Xm, erübrigen. Man gelangt so
zur einfachsten Rechenschaltung des gedämpften
Schwingers,
4,2 Erregung durch eine Sprungfunktion
Der Schwinger im Bild 11 soli durch eine sprung-
förmige Änderung der Koordinate X; UM Xgm erregt
werden. Die Differentialgleichung des Schwingungs-
vorgangs lautet jetzt
x =.-.6x- we (x - x,) mit den Werten
(10)
x(0) = 0; x(0) = Ound xg = x
sm
Unter dem Einfluß einer derartigen Störung kann
im ungedämpften Fall die Lösungsfunktion x(t) die
doppelte Sprunghöhe, nämlich 2 Xgm. Erreichen.
Im stark gedämpften Fall wird x(t) zumindest Xsm:
Man erhält so die Abschätzung
(11a)
Xm = 2 Xen,
Die ungedämpfte Schwingung wird eine Amplitude
von xm/2 um den Mittelwert x, haben. So ergibt
sich entsprechend der Gleichung (9b) für den Maxi-
malwert von Xm die Beziehung
x = a, x
K)=-0%Br’-x ö oom (17)
x [0)=08
z.B. Das System im Bild 11
(x)'= x’ habe die Werte:
xX(0)=06 w2 = 900 s72; Xo * 0,5cm
ösei im Bereich zwischen
0 und 30 s-1 veränderlich,
Für die Zeitnormierung
wähle man A = w, = 30 s7}
Xs x 5 x.(E)
Y LAK A Oo” m J ° ¥=-6 X-W8(x- Xp)
WV Ts
: Z 7 a
Y =~ =
a b= = Kom Xm=2Xsm
ALL
Bild 11 x in = Zz @, Xm
Schwinger durch < > —L_ pe m” 97
Störfunktion x, erregt a
Nach den Gleichungen (lla und 115) ernäh
man die Maximalwerte
Axlt)
Tt
x =lem
m
x = 15 cm/s bzw. x = 0,5 cm
m m
und damit die Maschinengleichungen
x
(x!) =- 2x - 2x4 itx el ;
XP STR PRT XS MNS OF X(T)
_ — sm 7
(x) = 0,5 x!
Der Potentiometerwert 8 liegt zwischen Oundl.
Die Rechenschaltung dieses Beispiels zeigt das r
Bild 12. Einige charakteristische Lösungskurven
für cd sind im Bild 13 wiedergegeben.
A
Bild 13b. Phasendiagramm für Schwingschaltung im
Bild 12 für 3 = 0,1
—
4.3 Erregung durch eine
periodische Störung
Ss
Das System im Bild 11 soll
durch eine periodische Stö-
(X = gs x’ rung entsprechend
xX =x - sinwt
s sm
>|
O
7
“1 erregt werden. Die be-
ae -1(=Xs) schreibende Differential-
— gleichung lautet nun
2
5 |
¥=- 6% -w% (x- i 2
Km sinwt) (12)
Bild 12. Rechenschaltung für sprunghafte Störung
Die maximale Amplitude der
Lösungsfunktion x(t) hängt in
(T) diesem Fall
a 90 un
+7+ 1. von dem Verhälnis der
37 erregenden Frequenz w
03 en zur Eigenfrequenz wy ab.
70 Für w = wo erreicht die
057 if erzwungene Schwingung
ihren größten Wert (Re-
sonanz).
m 70 20 30 T 2. von der Dämpfungsgröße
ö des Systems ab. Im
Resonanzfall wird fürö =
Bild 13a. Schwingweg bei sprungförmiger Erregung (Schaltung Bild 12) 0 die Amplitude om.
Für Dampfungen 6 > 0 und w =
@, erreicht die erzwungene
Schwingung folgende Maximal-
werte
2 (13a)
mE *sm a
Kun = Wo x (13b)
z.B. Der Schwinger im Bild 11
habe die Werte: BER
102 = 900 5°”
6= 7,58
und werde durch X, = 0,2 cm-
sinwt erregt. Die Frequenzw
ändere sich von 10 bis 100 s-1.
Für die Zeitnormierung wähle man wieder A = 30 st.
Mit den Gleichungen (13a, 13b) erhält man die
Maximalwerte
Xm?
hn?
4- 0,2cm = 0,8cm
J
m” 0,8cm
24 cm/s bzw. x
Die Normierung von Gleichung (12) fiihrt zu den
Maschinengleichungen
(x')' = - 0,25 x’ - x + 0,25 sin P
(x) = x
Im Bild 14 ist die Rechenschaltung dieses Beispiels
wiedergegeben. Das Bild 15 zeigt die erzwungene
Schwingung x(t) in Abhängigkeit von der linear
veränderten Störfrequenz w. Die notwendige Stör-
schwingung wird nach der Schaltung im Bild 17
gewonnen.
(925
N,
x (T)
7+
I)
Bild 15. Erzwungene Schwingung bei einer verän-
derten Storfrequenz w- Schaltung Bild 14
10
025 7
Soh Oe on er
Bild 14, Rechenschaltung: Schwinger mit periodischer Störung
Bild 16, Amplitudenstabiler Sinus-Cosinus-Oszillator
Abschatzungsformein für Maximalwerte:
Differentialgleichung: x = - dx -w2 (x - xg)
Anregung .
durch: m m
Anfangswerte
x(0) = x 2, /%,\2 1. _
° X= {/Xot {2 X= Km
x(0) = x,
Sprungfunktion
= =2 x =
Xs = Xom Xm 2% x
Periodische
Störung
Ee
o .
Im 6 *sm Km
Xs = XsmSinot = @oXm
5. Erzeugung unge-
dampfter Schwin-
gungen
(x )'=-Q25X"-X+ 025 sine T
I ?
(x)= x Ungedämpfte Sinus- oder
Cosinusschwingungen wer-
den als periodische Stör-
funktionen für Schwingungs-
systeme oder auch zur
Frequenzganganalyse be-
nutzt. Dazu sollte die
Kreisfrequenz w dieser
Schwingung von Hand oder
nach einer vorgeschriebe-
benen Zeitfunktion geändert werden können.
Eine Schaltung für eine ungedämpfte Schwin-
gungist aus der normierten Schwingungsglei-
chung im Bild 6 flr dé = 0 zuerhalten. Da x,
em ®o
der Wert —.
Xm A
beiden noch verbleibenden Potentiometer er-
w
= Wo Xp, ergibt sich für Die
9
@ halten so den gleichen Wert — . Fordert man
A
am Ausgang des 1. integrierers - x' = sin
Wo
Tt muß der Anfangswert x’(0) = 0 gesetzt
werden, Am Ausgang des 2. Integrierers wird
Wo
für x = cos Tt cer Anfangswert x (0) = 1,
Die so gewonnene Schaltung im Bild 16 erzeugt
somit an den eingezeichneten Steilen eine unge-
dämpfte Sinus- und Cosinusschwingung, die für
cos (221)
Bild 17
Sinus-Cosinus-Oszillator
oT)
Petit
A
mit variabler Frequenz
@
° .
alle einstellbaren Werte von zZ (mit der Eingangs-
wertigkeit der Integrierer bis 10) normiert ist.
Durch gleichzeitiges Verändern der beiden Poten-
tiometer läßt sich die Frequenz der Schwingung
variieren.
Soll die Frequenz nach einer bestimmten Funktion
@ (T) verändert werden, müssen beide Potentio-
meter durch Multiplizierer ersetzt werden, die die
Variable w(t) in der Schaltung wirksam werden
lassen (Bild 17). Eine genauere Analyse der
Rechenschaltung fordert allerdings, daß die Ände-
rung von @ genügend langsam erfolgen muß,
Bedingung: w (tT)'r € w(t)
um eine störende Amplitudenänderung zu vermeiden.
Auch die Fehler der Rechenelemente können
”
bei längeren Rechenzeiten zu unerwünschten Ab-
weichungen von der Anfangsamplitude führen.
Für Resonanzuntersuchungen ist aber eine über
lange Zeit stabile Amplitude notwendig. Sie ist
durch zwei Rückführungen {in den Bildern 16 und 17
gestrichelt dargestellt) zu erreichen. Die Rück-
führung über das mit kleinem Wert eingestellte
Potentiometer entspricht einer geringen negativen
Dämpfung und bewirkt eine langsame Anfachung der
Schwingung. Das gegeneinandergeschaltete Zener-
diodenpaar erzeugt dagegen eine starke Dämpfung,
sobald die Spannungsamplitude die Durchbruchs-
spannung der Diodenanordnung übersteigen möchte.
Durch eine geeignete Wahl der Dioden kann so eine
Begrenzung bei der Einheitsgröße 1 erfolgen. Bei
diesem Wert stabilisiert sich die Amplitude der
Schwingung. Die Verzerrung der Kurvenform ist
durch einen kleinen Wert des Anfachpotentiometers
vernachläßigbar klein zu halten.
11
12
IL NICHTLINEARE UND KONTINUIERLICHE SYSTEMEMIT LÖSUNGEN
1. Nichtlineare einläufige Schwinger
Ein System und somit die beschreibenden Differen-
tialgleichungen sind nichtlinear, wenn die abhängi-
gen Variablen oder deren Ableitungen von anderem
als 1. Grad auftreten, d.h. wenn man Glieder der
Form: x x, x2, f(x), x x2, sin(x) usw. vorfindet.
Methoden, die durch Superposition von Einzellö-
sungen zur Lösung führen, scheitern bei nichtline-
aren Differentialgleichungen ebenso wie das Ver-
fahren der Laplace-Transformation,
Deshalb kommen gerade bei nichtlinearen Aufgaben
die Möglichkeiten des Analogrechners voll zur Gel-
tung. Er wird grundsätzlich so wie bei linearen
Differentialgleichungen programmiert. Abgesehen
von der häufig umfangreicheren Vorbereitung tre-
ten keine zusätzlichen Schwierigkeiten auf. Aller-
dings müssen jetzt neben den Variablen auch Funk-
tionen normiert werden,
An einigen Beispielen sollen die Methoden skizziert
werden. Wenn diese vornehmlich aus dem Bereich
der mechanischen Schwingungen ausgewählt worden
sind, so geschah dies wegen der häufig größeren
Anschaulichkeit derartiger Systeme,
1.1 Mathematisches Pendel bei kleinen und großen
Ausschlägen
Die Möglichkeiten des Analogrechners zur Lösung
nichtlinearer Systeme lassen sich gut am mathe-
matischen Pendel bei verschieden großen Aus-
Bild 1, Mathematisches Pendel
schlägen und beim überschwingenden Pendel stu-
dieren, wenn eine starre Pendelstange vorausge-
setzt wird.
Das in Bild 1 dargestellte Pendel der Länge 1 führt
nach Auslenkung um (0) = @g oder (und) angesto-
Ben mit p(0) =®, freie Schwingungen um die Ruhe-
lage P = 0 aus. Die Bewegungsgleichung auf der
Erdoberfläche (Erdbeschleunigung g) ergibt sich
aus dem zu jeder Zeit gültigen Momentensatz
zu P= -E sing (1)
ml$=-mglsinp 1
mit den Anfangswerten (0) =@9, 20) =P
a) Linearisiertes Pendel
Für kleine, d.h, für singy@ , ergibt sich daraus
die linearisierte Pendelgleichung
D= _& ,
p i?
Diese zuvor behandelte ungedämpfte lineare Diffe-
rentialgleichung 2. Ordnung hat die harmonischen
Lösungen sin Wt und cosw yt, wo 1 ist die
Eigenfrequenz des linearisierten Pendels.
Wenn bei größeren Ausschlägen keine Linearisie-
rung der einfachen Gleichung (1) mehr erlaubt ist,
würde die analytische Behandlung bereits auf
elliptische Integrale führen. Am Analogrechner
genügt eine Nachbildung der Sinus-Funktion, die
in verschiedenen Fällen im folgenden gezeigt wird,
um die Lösung zu gewinnen,
Zur Normierung der Pendelgleichung sind die
Maximalwerte Pm und®m erforderlich. Für kleine
Psind die Abschätzungsformeln für die lineare
‘Differentialgleichung zu benutzen. Für größere ist
eine Beziehung zwischen $®m und®m aus demEner-
giesatz zu gewinnen, den man durch Integrationder
Schwingungsgleichung erhält
i mi?
12
2 (9) = mgl(l-cosP, ) .
Mit Wy = \E ergibt sich daraus
© =o
en 0 2 (1-cosp,) (2)
Bei Schwingungen bis zum oberer. Un.nenri ans?
kann somit
benutzt werden.
Mit den Normierungsbeziehungen
T= ht, Pspp, FFE g'
=_ m — In
erhält man durch Multiplikation von Gieicnung (1)
mit I .
229
die normierte Pendeig.eic nung
NL wg? .
(P) =-—>-'* — sin (
I )
ae Pr
P
me
und bei freier Wahl von A= ®q
1 .
F oe sin v9
mit den Anfangswerten
PO) = 5 90) =
m m
Die zweite triviale Gleichung für (@)' soll hier und
nachfolgend nicht mehr gesondert geschrieben wer-
den.
Nach Gleichung (4) ist die allgemeine Rechenschal-
tung in Bild 2 gebildet worden,
Zar)
Bild 2. Allgemeine Rechenschaltung des
mathematischen Pendels
Je nach dem Bereich von ®,, kann am Analogrech-
ner die Sinus-Funktion auf verschiedene Weise er-
zeugt werden. Diese Möglichkeiten sollen im einzel-
nen diskutiert werden.
b) Pendel mit großen Ausschlägen
3 oder
8, so ist die Funktion sin(®,%) bereits nor-
miert. Man verwendet in diesem Fall am einfach-
sten die in den Rechner einsetzbaren festeinge-
stellten Funktionsgeber
Liegen die Werte fiir®,, im Bereich ®,, <
A= sin (2 B| oder A=sin (TE).
9, ist demnach 7/2 oder zu wählen. Derartigen
Funktionsgebern muß + E und - E zugeführt wer-
den, Durch Vertauschen der Eingänge ist die ne-
gierteSinus-Funktion zu erhalten.
Nimmt man %,, =’ an, so ergeben sich für die Po-
tentiometer in Bild 2 folgende Werte:
1 A
Pot (Ii Gir = 37 F 0,5
m 0
qg! 2W
m_ O14. .
Pot (2): > 1G = = 0,636.
m m
Liegt®,, jedoch nicht in der Nähe von 7/2 odera,
und möchte man die dann eintretende schlechtere
Aussteuerung der Integrierer vermeiden, so ist mit
den wirklichen Maximalwerten zu normieren und in
der Rechenschaltung ein Pot (3) einzufügen, daR den
Wert a oder = erhält, Der Sinus-Funktionsgeber
bildet dann wieder richtig:
{1} 7
c) Pendel mit kleineren Ausschlägen
z.B. - sin (P ).
m
Für 0,1< ¥,,< /2 ist ein Festfunktionsgeber we-
gen mangelnder Aussteuerung nicht empfehlenswert.
Ist z.B. Py, = 7/6 (= 300), so erreicht der Funk-
tionswert sin (PP) maximal # 0,5. Jetzt sollte bes-
ser ein einstellbarer Funktionsgeber verwendetund
eine spezielle Normierung der Sinus-Funktion wie
folgt vorgenommen werden:
sin|P @
sin @ ® = sin ® sing
sin 92
Im Funktionsgeber wird jetzt die Funktion sing
m
durch einen Polygonzug approximiert. Der Faktor
sin Pm um den die Sinusfunktion nun größer nach-
gebildet wird, ist dann in Pot. (1) der Schaltung zu
berücksichtigen.
Für @,, = 7/6 und somit nach Gleichung (2)
ze = 2 (1 - ; Y%) = 0,52 erhält man folgende
Werte für die optimale Simulationsschaltung:
It 1 1
Pot (1): gr sin Fe ’ 2” 0,97
m ,
P
Pot (2): = He = 0,99
d) Uberschwingendes Pendel
Für Pendelüberschläge,@ > , die natürlich nur
bei angestoßenem Pendel (X0) > 0) erhalten wer-
den, sind Funktionsgeber bisher genannter Art
nicht brauchbar, da sie mit genügender Genauig-
keit eine Sinus-Funktion nur über eine Periode
nachbilden können. Eine Funktion sin @ einer Vari-
ablen@(t) ohne Beschränkung in der Periodenzahi
kann aber als Lösung der ungedämpften Schwin-
gungsdifferentialgleichung erzeugt werden, wenn
über die Ableitung 9! verfügt werden kann, Leiten
wir zunächät eine solche Funktionsgeberschaltung
ab.
Setzt man
A. =
1 sing, A
9 = COs@,
so findet man durch Differentiation nach t die bei-
den zugehörigen Differentialgleichungen 1, Ord-
nung
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ro gi 12 an gl
Ay A, , Ay A,®?
mit den Anfangswerten:
A, (0) = sin®y, A, (0) = COS) -
Da A} und Ag definitionsgemäß normiert sind, lau-
ten die normierten Differentialgleichungen
(A,) (A,)' =
a, D f _ ' t -
Ay Ind: Ay 9? (5)
1
In Bild 3 sind die Rechenschaltung sowie das Sym-
bol dieses speziellen Funktionsgebefs dargestellt.
Danach sind aus der normierten Ableitung 9' die
in Bild 4, in der für die Anfangswerte Potentiome-
ter mit zwei Eingängen vorgesehen sind.
Der zweite Integrierer für % ist demnach nur noch
notwendig, wenn ® selbst von Interesse ist. Im all-
gemeinen wird man zur Darstellung der Schwingung
die in kartesischen Koordinaten (Bild 1) verwenden.
Es sind dazu
= -1cos® und X = 1 sing
auf ein Registriergerät zu geben. Beide Rechen-
größen sind für eine Einheitslänge (1 = 1) der
Schaltung zu entnehmen.
An der Maschine bestätigt man leicht, daß
Os 9, für
earns Cara —— + C-sing, %(0)= 0,5, P'(0)= 0 und cospg = -1, sing, =0
+" ı 7 OM (,) 7 SIND > > oder für
| ra , 5 p(0) = 0, 90) = 0,5 cos@g = +1, sing = 0
| ‘SS - 7 gerade der obere Umkehrpunkt erreicht
N Urs SS --9 0. . .
gr! | I, Mm Wp) > eos” © 08 wird, Die Schaltung entspricht der ge-
4 ay wünschten Normierung.
U m nt none * COS '
Org O % Wird im letzten Fall '(0) > 0,5 gesetzt,
ra o so wird das Pendel überschwingen und,
7 da es ungedämpft angenommen wurde,
Bild 3. Sinus-Cosinus-Funktionsgeber fortwährend in gleicher Richtung umlau-
Funktionen sing und cos@ jeweils mit beiden Vor-
zeichen zu erhalten. Allerdings ist ®' mit beiden
Vorzeichen zuzuführen und P'„, an zwei Potentio-
metern einzustellen, Selbst unter Verzicht auf
eine gute Aussteuerung der Multiplizierer sollte
La nicht durch ein Potentiometer vor diesem
Funktionsgeberelement verwirklicht werden. Das
Potentiometer würde aussteuerungsabhängig be-
lastet, da die Multiplizierer eine nichtlineare Last
darstellen, und man müßte es deshalb mit einem
zusätzlichen Verstärker vom Eingang des Funk-
tionsgebers abtrennen, Schließlich müssen noch
die Anfangswerte sin® und cos®Pg eingegeben wer-
den, weil es sich hier um ein nichtlineares Inte-
grierelement handelt, was auch im Symbol zum
Ausdruck kommt.
Mit der entwickelten Funktionsgeberschaltung soll
jetzt eine normierte Rechenschaltung für ein über-
schwingendes Pendel abgeleitet werden. Wenn die
Pendelmasse die höchste Lage gerade durchlaufen
kann, ergibt sich für die maximale Winkelgeschwin-
digkeit nach Gleichung (3) der Wert in = 2. Wir
wollen das Pendel bis zum doppelten Wert vr.
untersuchen. Aus dem von -w bis +a reichenden
®-Bereich lassen wir -2R SPS + 279m = 27) zu,
d.h. zwei Umlaufe des Pendels.
= 4
Aus Gleichung (4) erhaltenwir mit
© = 2%und @' = 4
m m
die Maschinengleichung
mit den Anfangswerien
g!
0
eo) = -gr-, Fo)
m
wollen wir positive und negative Anfangswerte ein-
stellen können, so ergibt sich die Rechenschaltung
14
fen,
Das Phasendiagramm der Schwingungen ist für ver-
schiedene Anfangswerte in Bild 5 wiedergegeben,
Das hin- und herschwingende Pendel hat geschlos-
(gp'}'=-G,25 sin (2% 9)
COS Py
Bild 4. Rechenschaltung des überschwingenden
Pendels
ot
Bild 5, Phasenkurven des mathematischen Pendels
oben: in positiver @-Richtung überschwingend
mitte: um $7 0,2”, -2r usw. pendelnd
unten: in negativer @-Richtung überschwingend
sene Phasenkurven um 0, +27 -2musw, 1
rechts und links laufenden Wellenkurver
chen der recht oder links herum überscn“
Masse,
Die mathematische Analyse eines Rührenuszil.a-
tors führt zu einer Differentialgleichung m:
nichtlinearen Dämpfungsglied, das eine Se.bsier-
regung der Schwingung bewirkt, Mit guter Annähe-
rung läßt sich die Spannung U am Schwingkreis
(L,C) eines solchen Oszillators durch {uigende
Gleichung beschreiben:
einem
LC 0 - (a- gu’) Ut =o.
aund § sind Parameter, die Konstanten der Riick-
kopplungsschaltung und der Réhrencharakteristik
enthalten,
Führt man nach 8 u: = x? eine dimensionslose
Größe x ein, sowie mit A = Te (Eigenfre-
quenz) eine Zeittransformation t = At durch,
so erhält man mita = TE dienachvan der
Pol benannte Differentialgleichung
x= a(1- x) x! -x (7)
Dieses System soll für Werte 0 Sax 2,5
untersucht werden.
Vergleichen wir diese Gleichung mit der line-
Mit x =x x und x'=x!'x' erhalten wir aus
= "m = "m
leichung (7)
x
- oy -—+" x (8)
x’) = -( -x
mit den Anfangswerten
' -,'! ! u =
x'(0) IE x(0) X9/
Die eingesetzten Maximalwerte ergeben schließlich
die Maschinengleichung
\
2
(x') = lo - (x)"] x'- 0,4 x. (9)
Danach wird die Rechenschaitung in Bild 6 gewon-
nen, Die nichtlineare Klammer der Gleichung ist
mit einem Multiplizierer nachgebildet, dessen
Ausgangsverstarker gleichzeitig die Addition der
Konstanten vornimmt. Das Potentiometer (0,4a),
+7 -7
> (x)= 4a (0,25- (X19) X94
=
7x
[Au
Bild 6. Rechenschaltung der van der Polschen
Differentialgleichung
aren Schwingungsdifferentialgleichung, so se- 7
hen wir anstelle des Dampfungsfaktors (-6)
S
hier + a(1-x2) stehen. Für kleine Amplituden x x
(x < 1) ist somit eine Anfachung der Schwin- ~ 2-05
gung zu’erwarten, die durch schaltungsbeding- /\ GAREN
te Störungen geringster Art auch ohne An- a iy 3 En 27 =
fangswerte (Xo = 0, x(0) = 0) eintreten wird. T
Für x < 1 wechselt das betrachtete Glied das
Vorzeichen und wirkt dämpfend. Dieses ge-
gensinnige Verhalten wird bei dem freien 4
Schwinger dazu führen, daß er sich bei einer 7
bestimmten Amplitude stabilisiert. 7
Die notwendige Abschätzung der Maximalwerte ’
ist jetzt aus Anfangswerten nicht mehr mög- x > 2-70 x
lich, da diese für a > 0 nach wenigen Schwin-
gungen bedeutungslos sind. Nur Anfangswerte,
die zunächst größere Amplituden als bei der
stationären Schwingung erzeugen, sind bei Be-
ginn der Simulation zu berticksichtigen.
Eine Abschätzung von x,, aus der Bedingung
für die stationäre Schwingung (1-x2) = 0 ist -7
wegen mangelnder Kenntnis der Kurvenform
nur grob möglich. Einer Versuchsschaltung 7
wird leicht zu entnehmen sein, daß für alle
a gilt:
I
Auch für x),
abgeschätzt werden, da fiir kleine a die Eigen-
frequenz gleich 1 ist. Für größere a, d.h. für
größere Verzerrungen der zunächst sinusför-
migen Lösung, ist sicher Xm > Xm- Auch hier
kann zunächst nur ein Wert = Xm ia
L 1
zeigt erst die Versuchsrechnung, daß im zu
betrachteriden Bereich für a gilt
Losungskurve Phasenkurve
Bild 7. Lösungskurven x (t)und Phasenkurven x!
über x für drei Parameter a
das das nichtlineare Verhalten des Schwingers be-
stimmt, erreicht für a = 2,5 gerade den Maximal-
wert 1. Um einen definierten Beginn der Schwin-
gung zu erreichen, werden für die Untersuchungen
Anfangswerte x'(0) = 0,1 und x(0) = 0,1 angenom-
men,
In Bild 7 sind Lösungskurven x(t) und Phasenkurven
x! (x) für verschiedene a aufgezeichnet,
Mit wachsendem a stellt sich die Schwingung mit
konstanter Amplitude schneller ein, gleichzeitig
nehmen die Periode der Schwingung-ühd die nicht-
lineare Kurvenform zu, was besonders eindrucks-
voll aus den Phasenkurven ersichtlich ist. Schließ-
lich wird bei a = 2,5 praktisch der Einheitsbereich
ausgenutzt und damit die richtige Annahme der
Maximalwerte bestätigt.
1.3 Bistabiler Schwinger
Als Beispiel für einen Schwinger mit nichtlinearen
elastischen Eigenschaften soli ein System mit zwei
stabilen Lagen betrachtet werden, das einer peri-
odischen Störung
xX FX
Ss sm
sinwt
unterworfen ist. Die Differentialgleichung des
Systems lautet
. . 2 - -
He sit la xs +x 8? (10)
Vergleichen wir mit der linearen Schwingungs-
gleichung, sg ist das Glied der rückstellenden Fe-
derkraft (-wgx) jetzt + (a - x2) x g7
Für kleine x (x< Ja) liegt demnach eine vom Zen-
trum x = 0 wegtreibende Kraft vor. Die Gleichge-
wichtslagen des Systems ergeben sich aus (a-x2) =0
zu
- +
X19 ta .
Die Eigenfrequenz wg für Schwingungen um die
Ruhelagen berechnen wir aus der Ableitung des
elastischen Glieds, die der Federkonstanten bei
der linearen Differentialgleichung entspricht. Wir
d 1 "a1
erhalten ye (a-x”)x = Va - 3x° und fiir x = + Va
= 2a st
Nach diesen allgemeinen Betrachtungen soll nun
ein solches System mit den Konstanten
ö= 0,2 sl, a=0,1
(11)
(12)
untersucht werden.
a)
Gleichung (12) erlaubt es,
eine Eigenfrequenz von
etwa 0,5 s-1 anzugeben,
und mit Xm = WOXyy (für
Mit den Systemkonstanten erhält man aus Gleichung
(1X0) 0s “
x=- 0,2x+ (0,1 - ws 40,1 372 sinwt
Die Normierung erfolgt mit
T= At (A= is), x= xX?
1, x = x'+ 0,5
und führt zur Maschinengleichung
(x) = - 0,2 x'+ 20,1 - (9?) x4 0,2 sin or (13)
Am-T Xm=0,5
057
>
x
3
Vax
L . j
-7 x 7
Va
-4,5 4
Bild 9, Das elastische Glied des bistabilen Schwingers
+7
x Ne Eu =0,03
0 700 “4 300° 2700
| Mn
~The
Bild 10. Bistabiler Schwinger mit periodischer
Störung unterhalb der Eigenfrequenz
e) 1
i]
05H
die lineare Differential-
gleichung gültig) eine Be-
ziehung x = 0,5 s7! Xin
abzuschätzen. Eine Ver-
suchsrechnung wird letz-
teres bestätigen und
gleichzeitig zeigen, daß
eine Störamplitude von
Xgm = 0,1 etwa ein xml
erzeugt.
16
Bild 11. Phasenkurven des bistabilen Schwingers
a) unterhalb der Resonanz, b) in der Nähe der Resonanz
c) oberhalb der Resonanz
Die Rechenschaltung ist im Bild 8 wiedergegeben.
Die notwendige Störfunktion wird nach der Schal-
tung im Bild 16 ( TeilI ) erzeugt. Der Rechnung
kann nun die das elastische Glied charakterisieren-
de kubische Parabel mit den beiden stabilen Lagen
entnommen werden (Bild 9). Bild 10 zeigt das ty-
pische Einschwingen in die stabilen Lagen. Der
Wechsel wird durch die hier sehr niederfrequente
Störung verursacht. Der Einfluß der Störfrequenz
ist aus den Phasenbildern (Bild 11) zu ersehen.
Mit steigender Frequenz wird der Wechsel zwischen
den Stabilitätspunkten schneller; in der Resonanz
geht die Schwingung über beide Lagen hinweg und
pendelt schließlich oberhalb der Resonanzirequenz
nur noch um eine Lage. Bild 12 zeigt letztlich noch
die Phasenlage zur Störschwingung.
Tr
N
Bild 12, Bistabile Schwingung in Abhängigkeit von
der Störgröße
2. Mehrläufige Schwinger
Besteht ein schwingungsfähiges System aus nin
einer Richtung gegeneinander beweglichen Teil-
systemen (z.B. Massen) und hat es somit n Frei-
heitsgrade, so führt die mathematische Beschrei-
bung auf n Differentialgleichungen 2. Ordnung.
Sind die einzelnen Differentialgleichungen linear
(lineare Systeme), kann das Superpositionsprinzip
zur Lösung angewendet werden. Auch die Methoden
der linearen Regelungstheorie führen schnell zum
Ziel. Bei genauerer Analyse praxisnaher Systeme
stößt man aber meist auf nichtlineare Differential-
gleichungssysteme, bei deren Lösung der Analog-
rechner, wie schon im vorangegangenen Abschnitt,
ein angemessenes Arbeitsfeld findet.
2.1 Zwei-Massen-System mit nichtlinearem
Dämpfer
Das in Bild 13 dargestellte System aus zwei federnd
gelagerten Massen findet praktisch bei allen Fahr-
zeugen seine technische Realisierung. Jede Achse
Bild 13. Zwei-Massen-System
eines Fahrzeugs, auf dessen Räder gleichzeitig
eine Schwingungsanregung durch zg wirkt (z.B.
Schienenstöße), so daß sich Rad und Rahmen senk-
recht verschieben, kann durch dieses ebene Er-
satzmodell nachgebildet werden. Bei der Radfede-
rung eines Automobils würde den Systemkonstanten
folgendes entsprechen:
m, Masse der Radaufhängung und Räder
m, halbe Aufbaumasse
© Federkonstante der Reifen
Cy Federkonstante der Achsfederung
d, Dämpfungskonstante der Stoßdämpfer
Wenn die Koordinaten z; jeweils auf die Ruhelage
ihrer Massen m; als Nullpunkt bezogen werden, so
lauten die Bewegungsgleichungen des Systems
dylz] = 25) ~ cylz, = 25) = 0,02, ~ 29)
m, 2, =
My 49 =~ dol2y = 24) -
Sprungförmige Störungen 2g = Zgy, und periodische
Störungen zg = Zym Sinwt sollen das System erre-
gen.
Wir wollen folgende Systemwerte für die Normie-
rung annehmen
m,= 4 kps-/m c, = 32000 kp/m
m, = 50 kps?/m c, = 8000 kp/m
d, = 100 kps/m für (2,-2,)<0
2 22 Z = 0,02 m
= 10 kps/m für (2,-2,)>0 0m °’ ,
Das nichtlineare Dampfungsglied tragt dem Verhal-
ten eines realen Stoßdämpfers Rechnung, der bei
entspannender Feder wes