Die Funktionsgleichungen des digitalen Integrators
Die Funktionsgleichungen des digitalen Integrators
The characteristic equations of the digital integrator
Elektron. Rechenan!. 10 (1968), H. 5, S. 234—242
Manuskripteingang: 3. 8. 1968
In dieser Arbeit wird versucht, die Funktionsgleichungen des
digitalen Integrators so darzustellen, daß sie die Möglichkeit
bieten, fiir jede Rechenphase seinen Zustand genau darstellen
zu können, ohne auf die interne digitale Schaltnetzstruktur ein-
gehen zu miissen. In dieser Form erlauben die Gleichungen eine
elegante Programmierung fiir eine schnelle Simulierung einer
digitalen Integrieranlage auf dem Universalrechner. Darüber
hinaus lassen sich aus den Funktionsgleichungen Bedingungen
für die Synthese der digitalen Schaltnetzfunktion zur Reali-
sierung des digitalen Integrators ableiten.
The paper attempts to present the characteristic equations of
the digital integrator in such fashion that they allow the exact
presentation of the integrator state for each phase of computa-
tion without necessity of describing the internal structure of the
combinational circuit. This equation type permits elegant pro-
gramming of a general-purpose computer for the rapid simula-
tion of a digital differential analyzer (DDA). Moreover,
conditions may be derived from the characteristic equations
for the synthesis of the digital combinational circuit structure
needed to materialize the digital integrator.
1. Einleitung
Der digitale Integrator als das charakteristische Rechen-
element einer digitalen Integrieranlage (DDA) soll eine
Operation ermöglichen, die im Prinzip einer Integration ent-
spricht. Hierbei ist der Begriff der ‚Integration‘ mehr im
Sinne der Lösung einer Differentialgleichung zu verstehen,
als daß wie beim Integrator eines Analogrechners unmittel-
bar am Ausgang das Integral der zu integrierenden Funktion
ablesbar ist.
Der digitale Integrator arbeitet mit Inkrementen sowohl am
Eingang als auch am Ausgang, und diese Inkremente sollen
den Differentialen der verschiedenen Variablen entsprechen.
Die Lösung der Aufgabe besteht dann darin, die Differentiale
der Lösungsfunktion zu finden. Und diese Differentiale, oder
richtiger, die entsprechenden Inkremente, die eine durchaus
meßbare Größe haben, liefert der digitale Integrator.
Der digitale Integrator, dessen Symbol in Bild 1 dargestellt
ist, soll die Eingangsinkremente Ax und Ay so verarbeiten,
daß das Inkrement Az des Integrals
Xe
z= | ydx (1)
xo
als Ausgabegröße entsteht. Im Bild sind näherungsweise
von W. ZOBERBIER
AEG-Telefunken
Ulm/Donau
anstelle der Inkremente Ax, Ay und Az die Differentiale
dy, dx und dz gesetzt. Das entspricht dem allgemeinen Ge-
brauch. Man sollte sich aber stets dariiber im klaren sein,
daß der digitale Integrator mit quantisierten Schritten, näm-
lich den Inkrementen, arbeitet. Das Ausgabeinkrement Az
soll nun die Abhängigkeit (1) charakterisieren, und zwar sei
Az; durch
Az;=2;—2Z)-4 (2)
definiert, wobei für jedes 7
z= \ ydx (2a)
xo
gelten soll. Fiir Az; folgt dann:
Azı= | ydx— | ydx= | ydx. (2b)
Analog zu (2) sei auch
AYi= Vie Yi-1 (3)
definiert. Geht der Integrand y mit seinem jeweiligen Wert y;
durch ein Inkrement Ay; aus dem alten Wert y;_, hervor,
dann soll fiir den Integranden das Bildungsgesetz
Vi=Vi-r + Ay; (3a)
gelten. Und fiir dx erscheinen die Inkremente Ax; der unab-
hängigen Variablen x.
In welcher Form nun die Integration mit Hilfe des digitalen
Integrators vorgenommen werden soll, hängt von der ge-
wünschten Genauigkeit, von dem Feinheitsgrad Ax, mit dem
der Ablauf der unabhängigen Variablen x beschrieben wird,
aber auch davon ab, wie stark sich y innerhalb eines Ax;
ändern kann. Das Integrationsverfahren für den digitalen
Integrator muß aber, da es sich bei ihm um einen in sich ab-
geschlossenen und unveränderbaren technischen Baustein
handelt, ein für allemal vorgegeben werden, so daß bei der
Entwicklung des digitalen Integrators am Anfang die Ent-
scheidung steht, ob eine relativ einfache Integrationsmethode
mit nicht zu großer Genauigkeit, wie die Integration durch
Rechtecksummation — deren Integrator mit dem wenigsten
technischen Aufwand aufgebaut werden kann —, oder aber
eine genauere Methode, wie die Trapez-Integration, vorzu-
a Yen} dx
dz
at dy
Bild 1. Das Symbol des digi-
talen Integrators.
ziehen ist und man sich dafür etwas mehr Technik leistet.
Kompliziertere Methoden wie die Simpson-Regel kommen
offenbar kaum vor.
Hier seien diese beiden einfachsten Fälle, die Rechteck-
summation und die Trapez-Regel, behandelt.
Bei der Rechtecksummation sei anstelle von y ein Wert
y = yi* = const im Intervall (x_,, xi] gewählt und y;* gehe
aus dem zuvor geltenden Wert »;_* gemäß Formel (3a)
hervor. Dann ist
2-1 Xin~t
Im Falle der Trapez-Regel wird
y=5-(i-T+y)=const
für das Intervall (x¢_,, x:] gewählt, und dann folgt
An= (v4 98) Ax,
bzw.
An=yfAx- —AytAn,, (4a)
wenn man y4_,* durch y;* — Ay;* ersetzt.
Die Formeln (4) bzw. (4a) stellen nur die Methode dar, nach
der der digitale Integrator arbeiten soll. Intern hat er eine
ganz andere Zahldarstellung, eine Zahldarstellung die kein
Komma kennt, die aus den reellen Zahlen ganze Zahlen
gemacht hat, und deren Verknüpfungen nach den Regeln
der Festkommarechnung in einem Digitalrechner vor sich
gehen. Will man eine digitale Integrieranlage mit Hilfe eines
Universalrechners simulieren, d. h. die internen Schaltschritte
innerhalb der Anlage abbilden, dann spiegeln die obigen
Formeln das Geschehen im digitalen Integrator nicht wider.
Korrekt wäre das Nachrechnen aller Vorgänge in den digi-
talen Verknüpfungselementen und Flip-Flop der Anlage.
Aber das verbietet sich, da hierzu ein zu hoher Aufwand an
Rechenzeit nötig wäre. Interessant ist darum eine Darstellung,
aus der jede Registerstelle und jede Verknüpfung abgeleitet
werden kann, die aber auch das Geschehen im Integrator
in einer zusammengefaßten Form wiedergibt. Dies sei in den
folgenden Kapiteln durchgeführt.
2. Die Operationen im Y-Operationsteil
Im Abschnitt 1 wurde bereits gezeigt, daß die Integranden-
funktion y nach Gleichung (3a) sukzessive akkumuliert ge-
dacht sein kann:
Yi=Vi-1 +Ay;. (3a)
Der Anteil des digitalen Integrators, in dem dieser Prozeß
geschieht, ist der Y-Operationsteil. Eine digitale Anlage, und
sei es ein digitales Integriergerät, arbeitet aber grundsätzlich
mit quantisierten Größen, so daß im digitalen Integrator
anstelle von y nur zugeordnete digitalisierte Werte y* er-
scheinen können, die sich so wenig wie möglich von wahren
Größen unterscheiden sollen. Ist Oy!) der Quantisierungs-
4) In dieser Arbeit werden Größen z. T. auch durch zwei und mehr
Buchstaben gekennzeichnet, wie es bei den Programmiersprachen
ALGOL und FORTRAN gebräuchlich ist. Damit ist allerdings ver-
bunden, daß zur Kennzeichnung der Multiplikation immer ein Multi-
plikationszeichen gesetzt werden muß.
schritt für die Größe y (Qy > 0), so stellt er ein Maß für die
Unterscheidungsmöglichkeit dar, d.h., es soll immer der
wahre Wert innerhalb
y*sSy<y*+Qy (5)
liegen, wobei y* selbst ein Vielfaches von Qy ist. y* läßt sich
nun normieren, indem y* durch sein Vielfaches von Oy dar-
gestellt wird:
Y=y*/Qy, (6)
bzw. es ist
y*=Y-Qy. (7)
Y ist die Registerfunktion zu y*.
Analog dazu muß Ay;* gebildet sein, so daß
Ay? =DY,-Qy (8)
definiert sei. Unter diesen Umstanden wird im Y-Operations-
teil statt (3a) die Operation
yr=yi-1+Ayr (9)
durchgeführt oder in der normierten Form
Y=Y_,+DY. (10)
DY; ist ebenso wie Y;_, ganzzahlig, so daß Y; wieder ganz
sein muß. Je nach der angewandten Technik wird es einen
maximalen Betrag für das Inkrement DY geben. Um die
Bedingungen, die damit zusammenhängen, besser formu-
lieren zu können, seien zuvor einige Definitionen festgelegt.
Es sei die Signumfunktion sgn A eingeführt, aber hier mit
SA?) bezeichnet:
+1, wenn A>0O
— 1, wenn 4<0
SA -| (11)
für A = 0 kann SA beliebig gewählt werden, weiter sei VA
eine Vorzeichenfunktion, für die gilt:
Va wenn A>O (12)
0, wenn A<0’
wiederum darf für A = 0 VA beliebig gewählt werden, und
dann sei BA eine Betragsfunktion mit
A, wenn A>0
BA=| 9 wenn A<0'
(13)
Die Signumfunktion SA und die Vorzeichenfunktion VA
charakterisieren an sich den gleichen Sachverhalt, so daB
zwischen ihnen eine eindeutige Beziehung
SA=2:VA-1 (14)
besteht. So gilt z. B. fiir
DY=SDY:-BDY, (15)
wobei SDY die Signumfunktion und BDY der Betrag von
DY ist.
Für DYsind nun — abhängig vom gewählten Verarbeitungs-
typ innerhalb des digitalen Integrators — Grenzen ange-
nommen, die DY nicht überschreiten darf, damit der Inte-
2) In dieser Bezeichnung soll der Buchstabe die- Funktionseigenschaft
charakterisieren, während A hier das Argument darstellt. In DY
wiederum kann genauso D als Funktionszeichen und Y als Argument
angesehen werden. Die Buchstaben S, D, B, V, R sind als Funktions-
zeichen für solche Zwecke freigehalten.
235
grator richtig arbeitet, und solche Begrenzungen sind in der
Regel durch eine Form
—max(BDY)=DY Smax(BDY) (16)
bzw.
O<BDY <max(BDY)
gegeben. Als Beispiel seien drei häufig vorkommende Typen
genannt:
a) BDY= 1. DY kann in diesem Falle nur die Werte +1
und —1 annehmen: DYe {- 1, +1}. Dieser Integrator
arbeitet rein binär.
b) max (BDY) = 1. Dies ist der Fall, für den DY den Werte-
vorrat DYe {—1, 0, +1} besitzt, und der Integrator muß
fiir DY ternär arbeiten.
c) max (BDY) = max (Y). In diesem Integrator nimmt DY
gegeniiber Y keine Sonderstellung ein, wie in a) und b),
bei denen DY zugunsten einer einfacheren Technik einer
Beschränkung unterworfen wird.
Ebenfalls von der gewählten Technik abhängig ist die Form,
wie die Registerfunktion Y des Integranden y innerhalb des
Integrators dargestellt wird. Hier sind zwei Darstellungs-
typen aufgezählt und näher behandelt:
a) Die Darstellung von Y als r-Komplement unter Zuhilfe-
nahme seiner Vorzeichenfunktion VY, die ihren Vorzug
deswegen hat, weil sie im Z-Operationsteil praktisch nicht
zu umgehen ist.
b) Die Darstellung von Y durch den Betrag BY und die
Signumfunktion SY bzw. die Vorzeichenfunktion VY.
Diese Darstellung ist dann vorzuziehen, wenn das Register
zur Akkumulation einer Lösungsfunktion dienen soll, die
unmittelbar in Vorzeichen und Betrag ablesbar sein soll.
2.1 Die Darstellung im r-Komplement
Die Darstellung im r-Komplement bedeutet, daB fiir negative
Y der Registerinhalt RY = Y +r gesetzt wird und RY
größer oder gleich Null sein soll. Zusammengefaßt soll
gelten:
_Y, wenn Y20, d.h. wenn VY =1
RY=
ly +r", wenn ¥ <0,d.h. wenn VY=0,
(17)
wobei N die Anzahl der Registerstellen ist, die so gewählt
ist, daß
r"<Y<r" (18)
erfüllt wird. Dieser Sachverhalt läßt sich kürzer formulieren
durch
RY=Y+(1-VY):r" (19)
und
0<RY<r". (20)
Anstelle der Formel (10) für Y; müssen jetzt andere für RY;
und VY; treten, die als Funktionen von RYj_,, YYi_,, BDYi
und VDY; auszudrücken sind. Dazu ersetzen wir die Größen
in (10) durch ,
Y=RY-(1-VY)r", (19a)
wie es sich aus (19) ergibt, und (15) durch
DY =(2:VDY—1)-BDY, (15a)
236
wobei SDY = (2: VDY — 1) nach (14) gesetzt ist. Dann gilt
RY-(1-VY)r"=RY-,-(1-VY_,)r"
+(2-VDY,-1)-BDY.. (21)
Dividiert man die ganze Gleichung durch rX und wendet
darauf die Entierfunktion an, so wird
Yi é; ,— 1): BDY,
RY) _vn- Be +2 VD¥A I) |
. . r
-(1-VY-,). (2la)
Aus (20) läßt sich aber ableiten, daß für jedes RY
os kt cy (20a)
„N
ist und daß dann
[*]-o (206)
‚N
sein muß. Anders ist es bei der Entierfunktion auf der rechten
Seite der Gleichung (21a). Sie kann durchaus = 1 oder = 0
werden, so daß ein Ansatz
RY;_, + 2: VDY¥i- 1): BDY,; = RU+ DÜ- rN (22)
mit 0 < RU < rX sinnvoll ist. Eine solche Konstruktion hat
den Vorzug, sich eng an das technische Geschehen im Inte-
grator anzulehnen, bei dem das Auftreten von Überträgen
als Kriterien für Bereichswechsel herangezogen wird, z. B.
bei Übergängen vom positiven zum negativen Zahlbereich
und umgekehrt. Bei Anwendung der Entierfunktion auf
Gleichung (22), nachdem diese durch r¥ dividiert und be-
achtet wurde, daß
RU) 6
rN u
ist, wird dann
DÜ=
‚N
RYE V PY <1 BPH, (23)
und, wenn man dies für (21a) verwendet,
VY,=VY,_,+DU. (24)
Die interne Darstellung von DU im digitalen Integrator ent-
spricht aber der von (15a), so daß
VY=VY_,+(2:VDÜ-1)-BDÜ (24a)
ist. Beachtet man nun, daß für Yeine Bereichsüberschreitung
nur bei Y = 0, aber keine Überläufe vorkommen können,
dann kann VDU = 1 nur sein, wenn VDY; =1 ist, und
ebenso ist VDU = 0, wenn VDY; = Oist, d.h. esist VDU =
VDY;. Das gibt uns schließlich die endgültige Formel für
VY;:
VY,=VY,_,+(2:VDY,—1)-BDU. (24b)
Löst man nun Gleichung (21) nach RY; auf und ersetzt darin
VY; durch die rechte Seite von (24b), dann folgt die gesuchte
Formel für RY;:
RY;=RY._,+(2:VDY-1)-(BDY;—- BDÜ:r").(25)
Handelt es sich bei Y um eine periodische Funktion, dann
ist die Voraussetzung für Formel (24 b) nicht mehr zutreffend,
sondern es können Überschreitungen sowohl in positiver als
auch in negativer Richtung beliebig erfolgen. Die Bedingung
dafiir ist allerdings, daB y gerade so normiert ist, daB Y die
Periode r\ hat, so daß für Y gilt
0O<Y<r"—-1,d.h.esist Y=RY, (26)
und wegen der Periodizität läßt sich RY aus einem Hilfswert
HY; = Yıı, + DY; berechnen, da ein k derart existiert, daß
Y=RY+k-r% (27)
ist, zu
RY=HYmodr“. (28)
VY ist bei dieser Darstellung irrelevant.
Eine zweite Möglichkeit der Periodizität ist die, daß Y die
Periode 2 rN hat, wobei angenommen werden kann, daß Y
die Bedingung
r"<Y<r" (29)
erfüllt. Die Formel (28) für RY gilt dann ebenso, nur muß
VY evtl. modifiziert werden; denn nach (24b) können jetzt
YYı>1 und VY; < 0 auftreten, die keinen Sinn haben.
Beim Überschreiten des Hauptwertes nach oben hin, also
über rN hinaus, geht Y von einem positiven in einen nega-
tiven Wert über, und Entsprechendes geschieht an der unteren
Grenze. Das Vorzeichen wechselt also innerhalb 2 - rN mit
der Periode 2, und dasselbe gilt demzufolge für die Vor-
zeichenfunktion VY, die dann VYmod2 zu nehmen ist.
Nennt man das VY;, das man mit Hilfe der Formel (24b)
herausbekommen hat, VY;*, dann ist
VY,=VY;* mod2, (30)
wobei
VY*=VY_,+(2:-VDY-1)-BDÜ
und
0<VY<2
ist, und wenn das gilt, kann man statt dessen
*
vY= vorn | Ve | (31)
schreiben.
2.2 Die Darstellung in Betrag und Vorzeichen
Wird Y im Register durch seinen Betrag BY und die Vor-
zeichenfunktion VY dargestellt, wobei die Beziehungen
Y=SY-BY=(2:-VY-1)-BY (32)
und entsprechend j
DY=SDY-BDY=(2:VDY-1)-BDY (33)
existieren, und benutzt man diese Darstellungen in (10) für
die Bildung des neuen Wertes Y;, dann erhält man
Y=SY-BY=Y,_,+DY=SY_,-BY_,+SDY;-BDY,,
(34)
oder, wenn auf der rechten Seite SY;_, ausgeklammert wird,
SY, BY,=SY,_,-(BY,_,+SY,_,-SDY,BDY). (35)
Hierbei ist beriicksichtigt, daB nach Definition SY?) =]
ist. Man kann nun den Operationsablauf sich zweistufig vor-
stellen, indem zuerst eine Größe PY gebildet wird und
hinterher die Verknüpfung von PY mit SY;_, geschieht.
PY entsteht durch Addition oder Subtraktion von BDY;
zum alten Registerinhalt BY;_,, je nachdem SY;_, ' SDY;
positiv oder negativ ist:
PY =BY,+SY,_,-SDY,-BDY,. (36)
PY kann aufgrund dieser Bildung sowohl positiv bleiben
oder auch negativ werden. Das letztere passiert dann, wenn
vom stets positiven Betrag BY; ein noch größeres positives
BDY; abgezogen wird. Wann das erfolgt, erkennt man sehr
leicht, nämlich wenn bei der Verknüpfung ein Übertrag BDÜ
entsteht. Denn da angenommen werden muß, daß
-r"<Y<r" (37)
ist, weil Y nicht über das Fassungsvermögen des Registers
hinauswachsen darf, daß also auch
0sBY<r" (37a)
gilt, kann ein Übertrag nur beim Übergang durch den Null-
punkt entstehen. Macht man nun für PY den Ansatz
PY=RÜ+DÜ:r" (38)
und gilt für RÜ
0<RÜ<r" (39)
und für DÜ
DÜ=SDÜ-BDÜ,
so folgt
[*]-[pu+2]-»o-=s00:200, (40)
da DU ganzzahlig und [RU/,¥] = 0 wegen 0 < RÜNN <1
ist. Wie Y kann auch PY nach (35) und (36) nur wie folgt
variieren:
-r"<PY<r", (41)
und das bedeutet, daß
-1<| |-spv-spv<1 (42)
r
bei BDU = 1 nur für SDU = —1 erfüllt ist. Bei BDU = 0
ist das Vorzeichen unerheblich, und somit muB gelten:
+s PY
Wie schon gesagt, gibt es bei der Betragsdarstellung nur zwei
Klassen, die die positiven und negativen Werte charakteri-
sieren, und ein Ubergang von der einen zur anderen kann nur
erfolgen, wenn ein BDU = 1 auftritt. Tritt kein Übertrag
auf, dann bleibt die Funktion Y in derselben Klasse, d. h. sie
behält ihr Vorzeichen. Dieser Sachverhalt kann so ausge-
drückt werden:
(43)
SY,_,, wenn BDU=0
Y= p~ To 2.
SY, |_ So wenn BDC =o, (44)
oder als Formel:
SY,=SY,_,-(1—2-BDU). (45)
Eine entsprechende Formel erhält man für VY;, wenn die
SY nach (14) durch die VY ausgedrückt werden, nämlich
VY,=VY,_,+BDU-(1-2-VY,_,). (46)
(45) verwendet man nun fiir die Bestimmung von BY;, und
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es ist wegen
BY=SY;SY_,'PY
und
SY-SY_,=1-2-BDÜ
BY,=(1-2-BDÜ)-PY. (47)
Aus dem, was über den Y-Operationsteil bisher behandelt
wurde, kann man erkennen, daß einmal zur Darstellung der
Funktion Y ein Register benötigt wird, in dem Y;_, in einer
einmal gewählten Zahldarstellung gespeichert werden kann,
und daß außerdem ein Schaltnetz nötig ist. das die Ver-
knüpfung der beiden Größen Y;_, und DY; vornimmt. Für
die Realisierung der Y-Operation sind also zwei Operations-
einheiten nötig, die ,, Y-Register‘‘ und „,Y-Addierer“ genannt
werden (Bild 2).
Y-ı DY,
Bild 2. Der Aufbau des Y-Operationsteiles.
Y-Addierer
3. Die Operationen im Z-Operationsteil
Für die Z-Operation innerhalb des Integrators sind in Ab-
schnitt I zwei Möglichkeiten (4) und (4a) zur Bildung des
Inkrements Az; der Integralfunktion erläutert worden. Diese
beiden Methoden sollen hier behandelt werden in ihrer Aus-
führung durch den digitalen Integrator, und zwar in 3.1 die
einfachere Methode der Rechtecksummation und in 3.2 die
Trapezmethode.
3.1 Die Integration nach der Rechtecksummation
Zugrunde gelegt wird die Formel (4) aus Abschnitt 1
Az,=y;'Ax;,
die allerdings wie im Y-Operationsteil durch die zugeordneten
digitalisierten Größen ersetzt wird:
Azt=yr-Ax}. (48)
Analog zu Ay* in (8) sei definiert
Ax*=DX-QX, (49)
und fiir DX sollen dieselben Bedingungen gelten, wie sie fiir
DY in (16) aufgestellt wurden. Eines ist allerdings hier in
noch stärkerem Maße zu berücksichtigen, daß nämlich die
Schwierigkeiten bei der technischen Realisierung wegen der
durchzuführenden Multiplikation in (48) für max (BDX) > 1
wesentlich größer sind als für max (BDX) = 1. Für unsere
mathematischen Betrachtungen spielen diese Bedenken keine
Rolle, es soll aber auf den einfacheren Spezialfall max (BDX)
= Lim geeigneten Augenblick besonders hingewiesen werden.
Wie für DY in (15), gibt es auch für DX eine entsprechende
Form
DX=SDX-BDX=(2-VDX-1):BDX. (50)
Als Zahidarstellung kommt für die Z-Operation nur das
r-Komplement in Frage, wie es in 2.1 für Y behandelt wurde,
da hierbei der Registerinhalt jeweils nur den Rest darstellt,
der bei der Inkrementbildung übrig bleibt und beim nach-
folgenden Verarbeitungszyklus weiter verwertet wird. Die
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Überläufe des sogenannten Z-Registers — das sind die An-
teile, die über maximale Fassungsvermögen hinauswachsen —
stellen die Inkremente des Integrals dar. Sie alle akkumuliert
bilden dann das Integral. Az;* wird also nicht unmittelbar
erzeugt, sondern das Inkrement DZ - Oz soll immer als Viel-
faches des Quantisierungsschritts Oz abgegeben werden und
ist irgendwie von Az;* abhängig.
Das Prinzip dabei ist, daß nicht immer bei jeder Eingabe von
Werten y;* und Ax;* ein Inkrement Az;* geliefert wird,
sondern daß eine Zwischenspeicherung erfolgt, und daß erst
nach dem Anwachsen auf einen vorgegebenen Mindestwert
Oz eins abgegeben wird. Dazu wird Az;* durch seine Defini-
tion
Az*=z¥—z,_* (51)
ersetzt und die Gleichung (48) dann umgeformt zu
zP=z,_T+ yp Axe. (52)
Der Trick ist nun, daß z;* nicht in derselben Einheit wie
DZ; + Oz dargestellt wird, sondern in einer Einheit Orz, die
wegen der Gleichung (52) gleich dem Produkt von Qy- Ox
sein sollte. Ist nämlich
z#=GZ,'Orz (53)
und
y¥-Ax¥= Y,Oy-DX;-Ox,
dann folgt nach (52)
GZ; Qrz=GZ;_,-Qrz+ Y,,-DX;-Qy-Qx, (54)
und es ist zweckmäßig, in dieser Gleichung die Maßein-
heiten gleich zu setzen:
Orz=0x:0y, (55)
so daß dann aus (54)
GZ;=GZ;_,+Y,;-DX; (56)
folgt.
Nach (55) kann Orz nur der kleinste mögliche Quantisierungs-
schritt für z* sein; der Quantisierungsschritt Oz für das
Inkrement des Integrals muß also größer oder mindestens
gleich Orz sein. DZ als normiertes Inkrement soll immer mit
der Maßeinheit Oz abgegeben werden, wenn sich eine aus-
reichend große Menge von Inkrementen Orz im ,,Z-Register“
angesammelt hat. Besitzt das Z-Register M Registerstellen,
so wird sein Fassungsvermögen bei r gerade überschritten,
und es muß bei r Inkrementen Orz ein Oz abgegeben wer-
den. Das heißt, es ist
Oz=r™"-Orz. (57)
Die quantisierte Größe z;* ist auf Orz bezogen. Will man nun
wissen, aus wie vielen Inkrementen DZ sich z;* zusammen-
setzt, so muß man es durch Oz dividieren und davon die
Entierfunktion bilden. Da dies kein Vielfaches von Qz zu sein
braucht, wird ein Rest rz;* übrig bleiben, der kleiner als Oz
sein muß. Aber wie z;* ist auch rz;* Vielfaches von Orz.
zi* setzt sich dann folgendermaßen zusammen:
* zr *
*_| “i |. 4 58
2 Z| Qz+r2} (58)
mit
OSrz*<r™, (59)
und bezeichnet man
*
[zt |=z, (60)
und rz;* als Vielfaches von Orz mit
rz*=RZ,:Orz, (61)
dann folgt
z}=Z,;-0z2+RZ,-Orz. (62)
Das normierte Inkrement DZ; ist mit dem Quantisierungs-
schritt Qz verkniipft, so daB naheliegt, es mit Hilfe der Z;
zu definieren:
DZ=Z-Z;_,. (63)
Beachtet man außerdem, daß nach (57) Qz = rM - Orz ist,
und formt man die Gleichung (52) entsprechend um, dann
erhält man mit (62)
DZ, r" + RZ,=RZ,-,+ Y,- DX, (64)
die Funktionsgleichung fiir die Z-Operation des digitalen
Integrators.
Wird die Operation zweistufig ausgefiihrt, indem zuerst
PZ,=RZ,_,+Y, DX, (65)
setzt und anschließend, da ja auch
PZ;=DZ, r" + RZ, (66)
nach (64) ist, aus PZ;/,M die Entierfunktion gebildet wird,
so bekommt man unmittelbar
PZ,
RZ,=PZ,-DZ;'r". (68)
Die Formeln (65), (67) und (68) bilden zwar ein vollständiges
System, von denen aber nur die Gleichung für RZ; direkt
verwendbar ist, denn weder sind Y; und DX; unmittelbar ge-
geben, noch wird DZ; verlangt. Für Y; und DX; sind aller-
dings die Eingabegrößen in der richtigen Form vorgegeben,
so ist nach (50)
(67)
und
DX,=(2:VDX,-1): BDX, (50)
und Y; je nach Zahldarstellung im Y-Register
a) im r-Komplement (29):
Y=RY-(1-VY):r\ (29)
b) in Betrag und Vorzeichen (32):
Y,=(2-VY,—1)- BY,. (32)
Entsprechend der Darstellung fiir DX; und DY; sind nun
noch aus DZ; der Betrag BDZ; und die Vorzeichenfunktion
VDZ; zu bestimmen.
Es ist also zu untersuchen, wie aus VY;, VDX; und eventuell
dem Übertrag des Z-Registers, der der Betrag BDZ; von
DZ; ist, die Vorzeichenfunktion VDZ; ermittelt werden
kann. Dazu sei in Gleichung (65)
¥,=SY,-BY,
und
DX,=SDX, BDX;
gesetzt, damit PZ; auf Vorzeichenverhältnisse hin näher be-
trachtet werden kann:
PZ,=RZ,_,+SY; SDX,- BY, BDX,. (65a)
Sowohl RZ;_, als auch BY; und BDX; sind in dieser Glei-
chung nicht negativ, so daß PZ; nur negativ werden kann,
wenn ein Übertrag BDZ; auftritt und wenn außerdem
SY;: SDX; = —1 ist. Ist dies nicht der Fall, dann muß
PZ; positiv oder gleich Null sein. Andererseits ist aber nach
(66), indem
DZ,=SDZ;' BDZ,
eingesetzt wird,
PZ,=SDZ;: BDZ;-r“ + RZ,. (66a)
Hierin sind wiederum alle Größen mit Ausnahme von SDZ;
nicht negativ, und es kann PZ; nur negativ werden, wenn
BDZ; = Ound SDZ; = —1 ist. Zusammengefaßt kann also
gesagt werden:
+1, wenn BDZ,=0 oder SY,-SDX,;= +1
—1, wenn BDZ, +0 und SY,;-SDX;=—1° (69)
Es ist aber SY;- SDX; = +1 nur dann, wenn beide Vor-
zeichen übereinstimmen, somit also nur, wenn auch die bei-
den Vorzeichenfunktionen den gleichen Wert haben, d.h.
wenn von der Logik her gesehen die Äquivalenzaussage
VY; = VDX,; erfüllt ist. VY; und VDX; können beide nur die
Werte 0 und 1 annehmen, so daß sie als Aussagenvariable
einer binären Logik angesehen werden können, und der Fall
SYı'SDX; = +1 entspricht dann der Aussage
A,=VY,\VDX;v VY,\VDX,=1. (70)
A; kann ein arithmetischer Ausdruck
4,=VY,-VDX;+(1—-VY)-(1—VDX)=1 (71)
zugeordnet werden, wenn man beachtet, daß das Komple-
ment A der booleschen Variablen A dieselben Werte wie der
arithmetische Ausdruck
A-12A (72)
hat, und Entsprechendes gilt fiir die Konjunktion
A-B2AaB. (73)
Die Disjunktion läßt sich über das de Morgan-Theorem her-
leiten, wonach
AvB=AnBal-(1-A)(i-B)=A+B-AB (74)
ist. Um nun noch ähnlich für BDZ; in Verbindung mit 4;
vorgehen zu können, sei eine weitere Funktion NA; einge-
führt, die als Nullabfrage bezeichnet wird:
0, wenn BDZ,;=0
NA,;=4,’ nn
Ai N wenn BDZ,+0 (75)
Sie erlaubt, die Aussage (69) vollständig als eine logische
Aussage zu formulieren:
1, wenn SDZ,= +1,
und das gilt, wenn NA,=0 oder A,;=1
VDZ= 0, wenn SDZ,= —1, » (78)
und das gilt, wenn NA;=1 und 4;=0
In einer Formel dargestellt ist das
VDZ,=NA,;,v A, , (77)
239
bzw. in arithmetischer Form
VDZ,=1—NA,-(1—4). (78)
DZ, erhält man dann als
DZ,=(2:VDZ,;—1)- BDZ;
und RZ; hat man dann nach Formel (68).
Das Formelsystem fiir die Berechnung von VDZ;, BDZ; und
RZ; setzt sich somit zusammen aus den Gleichungen (19)
bzw. (32), (50), (65), (67), wenn DZ; unmittelbar bestimmt
werden kann; VDZ = 1(SDZ; + 1); aus (80) folgt BDZ; =
SDZ; + DZ;; und schließlich (68).
Wird nicht DZ; bestimmt, sondern liefert das Schaltnetz den
Übertrag BDZ, dann wählt man besser das Formelsystem:
(19) bzw. (32), (50), (65), (71), (79), (80) und (68).
Die Realisierung der Z-Operation kann man sich ähnlich wie
bei der Y-Operation vorstellen. Sie besteht aus zwei Opera-
tionseinheiten, dem ‚„Z-Register‘“ und dem ,,Z-Addierer“.
Die Registereinheit ist die gleiche wie beim Y-Register; evtl.
besitzen beide eine unterschiedliche Länge. Der Z-Addierer
hat einen Eingang mehr als der Y-Addierer, denn er hat die
Ausgabewerte vom Z-Register mit den Ausgabewerten vom
Y-Addierer und dem Eingangs-Inkrement DX; zu ver-
knüpfen. Der gesamte digitale Integrator setzt sich dann aus
den beiden Operationen, Y-Operation und Z-Operation, zu-
sammen. Wie dies als Prinzipschaltbild aussieht, zeigt Bild 3.
DZ; .
Z-Addierer
(79)
DX,
Yi4 DY;
Bild 3. Der Aufbau des digitalen Integrators.
Y Addierer
Eine Bemerkung zur Formel (65) sei noch angeführt. In ihr
erscheint das Produkt Y; - DX;, das sich in der Schaltung als
eine Verknüpfung der Zahlen RY; - BDX; bzw. BY; BDX;
äußert. RY; oder BY; sind auf jeden Fall Größen, die größer
als 1 werden können. Anders ist es bei BDX,. Hier gibt es den
Fall max (BDX) = 1, der sich heraushebt. Gilt nämlich diese
Voraussetzung, dann kann die Multiplikation mit 1 oder 0
auch als Entscheidung angesehen werden, ob RY; bzw. BY;
zu RY; addiert werden soll oder nicht, und dann kommen
in der Formel (65) zur Bildung von PZ; nur Additionen vor.
Ist max (BDX) > 1, dann besteht diese Möglichkeit nicht
mehr, sondern es muß eine Multiplikation ausgeführt werden.
3.2 Die Integration nach der Trapezmethode
Diese Methode unterscheidet sich gegenüber der Rechteck-
methode, die im vorigen Kapitel behandelt wurde, nur da-
durch, daß von y;* - Ax;* noch ein Anteil 4 - Ay;* : Ax;*
abgezogen wird. Da nach (8)
Ay =DY,-Qy (8)
und nach (49)
Ax* = DX; Qx (49)
ist, besteht zwischen der gewünschten Form 4- Ayı* + Ax;*
und der internen Darstellung im Integrator $+ DY;- DX;
die Beziehung
1 1yr-Axt=1-DY;-DX;-0y:0x.
7 5 (80)
240
Subtrahiert man dies von (52) bzw. von (56), so ergibt sich
1
GZ,=GZ,_ 1+ Y;DX;—5° DY, DX;. (81)
Für GZ geschieht nun dasselbe wie in 3.1, und es gelten über-
all dieselben Schlüsse, nur daß anstelle des PZ;, wie es durch
(65) gegeben ist,
PZ=RZ,,+Y-DX—ı
5 DY; DX;
(82)
genommen werden muB.
Eine Komplikation tritt allerdings bei der Bestimmung von
VDZ; auf. Um diese zu beseitigen, sei PZ; etwas anders ge-
schrieben, nämlich
PZ,;=RZ,_,+FY, DX; (83)
und
FY=Y, 1 py. .
2
FY; tritt in (83) an die Stelle von Y;, und alles, was in 3.1 ab
Formel (65a) für Y;, VY;, SY; behandelt wurde, gilt jetzt für
FY;, VFY; und SFY;. Wenn VFY; bestimmt ist, dann kann
A; nach (71) berechnet werden, und der weitere Rechnungs-
gang erfolgt wie in 3.1.
(84)
Ersetzt man FY; durch Vorzeichen und Betrag
FY,=SFY, BFY, (85)
und entsprechend auch Y; und DY;, dann ist
sry BEY, =S¥¢( BY,—}-S¥;-SDY:-BDY), (86)
und nennt man den Inhalt der Klammer auf der rechten
Seite
EY,=BY,—5"S¥; SDY; BDY,, (87)
so muß
SFY,=SY,- SEY, (88)
sein.
Die Vorzeichenfunktion VEY; von EY; aber ist auf ähnliche
Weise zu ermitteln, wie es in (46) geschah: Da der Betrag
BEY; von EY; ein Betrag von Y; ist, der so begrenzt ist, daB
das Register nicht überläuft, tritt ein Übertrag BDEY; = 1
dann und nur dann auf, wenn der Nullpunkt, gleichgültig
von welcher Seite her, überschritten wird. Dies muß dann
immer einen Vorzeichenwechsel bedeuten.
Also gilt
+1, wenn BDEY;=0
SEY= * 1, wenn BDEY;=1?
und man erhält analog zu (44) bis (46)
VEY,=1-BDE,. (89)
Es ist nun SFY; = +1 nur dann, wenn die Vorzeichen von
Y; und EY; übereinstimmen, oder anders formuliert: Es ist
VFY; = 1 nur dann, wenn VY; = VEY;, und das bedeutet
VFY,=VYAVEYVVYAVEY. (90)
Die zugeordnete arithmetische Schreibweise dafür ist:
VFY=VY,; VEY+(1-VY)-(1-VEY).
Setzt man auBerdem (89) ein, dann ergibt sich
VFY,=VY,— BDEY,-(2-VY,-1). (91)
Das Formelsystem für die Berechnung von VDZ;, BDZ; und
RZ; muB nun so abgedndert werden, daB statt (65) die
Formel (82) benutzt wird, dann die Formel (91) eingeschoben
wird und schließlich in (71) anstelle von VY; der Wert für
VFY; gesetzt wird. Der weitere Ablauf erfolgt wie in 3.1.
3.3 Der Maßstabsfaktor des Z-Inkrements
Mit jedem Ausgabetakt gibt der Integrator sein Ausgabe-
inkrement DZ; ab. Dieses DZ; ist normiert und gibt keine
Auskunft über die Größe, die es repräsentieren soll. Aller-
dings muß ein Zusammenhang zwischen Az;* und den Ein-
gabegrößen y;* und Ax;* bestehen, der von den Maßstabs-
faktoren von y;* und Ax;* abhängen muß.
Aus Formel (55) Qrz = Qx:Qy und (57) Oz =r™- Qrz
bekommt man den Zusammenhang
02: r "=0x:Q0y (92)
zwischen den Quantisierungsschritten der Integralfunktion z*
und denen der Größen y* und Ax*. Anstelle der Normierung
mit Hilfe des Quantisierungsschritts Qy, der die Formel (7)
zur Folge hat, findet man noch eine andere Schreibweise:
Y=fy-y*, (93)
wobei fy als Maßstabsfaktor des Y-Registers bezeichnet
wird. Zwischen Qy und fy besteht dann die einfache Be-
ziehung fy = 1/Qy. Häufig wird die Wahl des Maßstabs-
faktors fy so vorgenommen, daß er eine Potenz vor r ist:
Sy = r°Y. Das hat bei ganzzahligen Sy den Vorteil, daß bei
der Multiplikation mit einem solchen Maßstabsfaktor die
Ziffernfolge innerhalb des Registers erhalten bleibt, sondern
nur eine Kommaverschiebung bewirkt wird. Somit kann
also
Jy=1Qy=r”
gesetzt werden. Entsprechendes gilt für jede der anderen
Variablen. (Oft wird Sy als „Maßstabsfaktor‘‘ bezeichnet,
obwohl das nicht korrekt ist.)
Setzt man (94) und die entsprechenden Größen in (92) ein,
so ergibt sich
rer Mayr
(94)
(95)
oder
Sz+M=Sx+Sy, (96)
die bekannte Relation zwischen den „Maßstabsfaktoren‘“.
Hieraus folgt weiter: Sind Sx und Sy ganzzahlig, dann ist
auch Sz ganzzahlig.
Es sei nun untersucht, welche Bedingungen man an die An-
zahl der Registerstellen im Y-Register N und im Z-Register M
knüpfen muß.
Das Fassungsvermögen des Z-Registers r” muß mindestens
so groß gewählt werden, daß der maximal mögliche Wert
von y;* : Ax;* in seiner normierten Form im Z-Register so
viel Platz findet, daß ein entstehendes Inkrement DZ; - Oz
einen Maximalwert max (BDZ) nicht überschreitet. An
dieser Stelle muß festgestellt werden, wie groß die normierten
Werte von y;* und Ax;* sein können. Es kann vorkommen,
daß es nicht möglich ist, das Register voll auszunutzen, und
weiß man, daß n die Anzahl der Registerstellen im Register
ist, die stets leer bleiben, weil der Wertevorrat von Y nur
N — n Stellen in Anspruch nimmt, dann gilt
N-n-i N-n
r <Ynax <0 ,
(97)
Bildet man von dieser Ungleichung den Logarithmus zur
Basis r und anschließend davon die Entierfunktion, so erhält
man
N—-n=["log Yaaıtl- (98)
Diese Beziehung gibt die Möglichkeit, aus einem vorge-
gebenen Ymax auf die notwendige Registerlänge N zu schlie-
Ben, oder, wenn die Registerlänge bekannt ist, auf die Anzahl
der Leerstellen x.
Der häufigere Fall ist allerdings der, daß nicht Ymax, sondern
nur das Maximum |yjmax der Funktion selbst bekannt ist,
aus dem Ymax dann berechnet wird. Es geht also jetzt darum,
die Gleichung (98) so zu modifizieren, daß Ymax durch einen
Ausdruck in |y|max ersetzt wird. Zwischen Ymax und |y|max
besteht aber die Beziehung Ymax = |y|max/Qy<Ymax + 1,
und bildet man davon den Logarithmus zur Basis r, dann ist
"log Yinax <’log |Ylmax — "log Qy <’log ( Yinax + 1) . (99)
Da stets Ymax > O ist und r > 1, ist die Ungleichung
erfüllt, so daß auch
log (Ynax + D<log Ya r)="l08 Ynax +1 (100a)
gilt. Beachtet man (100a), wenn man die Entierfunktion
auf (99) anwendet, dann erhält man
["log Ynax] S["log |¥lmax— log Ov] <["log Ynax] +1,
und das bedeutet, daß nur
[log Ynax = [log |YImax —"log Qy] (101)
sein kann. Anstelle von (98) kann man also die Formel
N—n=['logi¥|max—"log Qy]+ 1 (102)
benutzen.
Nun gibt es zweifellos eine ganze Zahl & derart, daB ymax
zwischen r#-1 und r* liegt:
MO" S[Vlmax <<", (103)
woraus
k=["log|¥|max] +! (104)
folgt.
Aus (103) kann man entnehmen, daß k gerade die Anzahl
der Stellen angibt, die |ylmax vor dem Komma besitzt. Nun
ist
"logQy=—Sy (105)
eine ganze Zahl, die in (102) eingesetzt aus der Entierfunk-
tion herausgezogen werden kann. [log |y|max] ist nach (104)
aber gleich k — 1, so daB schlieBlich aus (102) die Formel
N-n=k+Sy (106)
entsteht. Diese Gleichung ist in etwas anderer Form bekannt.
Läßt man nämlich n weg, das selbst immer größer oder gleich
Null ist, dann muß aus (106)
N2k+Sy (107)
folgen; das ist die sogenannte Überlaufbedingung.
Formel (106) erlaubt noch eine weitere Deutung von Sy. Ist
N die Gesamtzahl der Registerstellen, von der die Anzahl n
der leeren Stellen abgezogen wird, dann sind N — n Stellen
übrig, die während der Operationen benutzt werden. Diese
241
bestehen nun aus einem Anteil von Ziffern der Zahl y, die
vor dem Komma stehen, nämlich k Stellen, während noch
ein Rest von N — n — k Stellen hinter dem Komma übrig-
bleiben. Das müssen aber nach (106) gerade Sy Stellen sein.
Für Y; liegt sicher eine obere Grenze vor, und zwar ist nach
(106) N — n die Anzahl der Registerstellen, die gerade aus-
genutzt wird, und die höchste darstellbare Zahl ist \"” — 1.
Außerdem besteht für DX; wie für DZ; eine maximale Be-
grenzung max (BDX), so daß dem Produkt yi* - Ax;* als
obere Grenze der Wert r4-” - max (BDX) entspricht. Das
muß aber kleiner oder gleich dem Wert sein, der durch
max (BDZ) multipliziert mit der maximalen Füllung + des
Z-Registers gegeben ist:
max (BDZ)-r™ =max(BDX)-r""" (108)
bzw.
"log max (BDZ)+ M ='logmax(BDX)+N—n. (108a)
Aus technischen Griinden kann es giinstig oder zweck-
mäßig sein, daß sowohl das Y-Register als auch Z-Register
die gleiche Lange besitzen. In diesem Falle ist N = M, das
zu einem Spezialfall der Formel (108 a) führt:
n="log (ma ep)
max (BDZ) (109)
Bei voller Ausnutzung des Y-Registers ist rn = 0, und das
ist nur möglich für
max (BDX)=max (BDZ). (110)
Anders ist es, wenn max (BDZ) größer als max (BDX) sein
soll, weil vielleicht DX durch Addition mehrerer Inkremente
zu groß geworden ist, dann gibt eine geeignete Wahl von n
die Möglichkeit, daß max (BDZ) durch den Integrator auf
ein gewünschtes Maß reduziert wird.
4. Schlußbemerkung
Über digitale Integrieranlagen (digital differential analyzers)
gibt es bereits eine sehr vielfältige Literatur, in der allerdings
der digitale Integrator in der Regel nur als Teil der Gesamt-
anlage gesehen und seine Theorie entsprechend kurz be-
handelt wird. Es sind deswegen innerhalb des Textes keine
242
Literaturhinweise gegeben worden, weil der Ansatzpunkt
dieser Arbeit sich von dem bisher bekannten in der Art der
Behandlung stark unterscheidet. Trotzdem soll auf die Lite-
ratur hingewiesen werden, die Grundlagen für diesen Auf-
satz bringt. — An dieser Stelle sei den Herren J. Preusker,
P. Selbach und W. Spering gedankt, die bei der Bearbeitung
dieses Themenkreises sehr geholfen haben.
Literatur
[1] Van der Waerden, B. L., Moderne Algebra J. Berlin - Göttingen -
Heidelberg 1960.
[2] Hasse, H., Vorlesungen über Zahlentheorie. Berlin- Göttingen -
Heidelberg 1950.
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1963.
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usf. 1964.
[5] Mayorov, F. V., Electronic Digital Integrating Computers. London.
[6] Lesemann, K.J., Ziffern-Integrieranlagen, in K. Steinbuch: Ta-
schenbuch der Nachrichtenverarbeitung. Berlin - Göttingen -Hei-
delberg 1962, S. 1241— 1253.
[7] Grabbe, E. M., Ramo, S., und Wooldridge, D. E., Handbook of
Automation, Computation and Control, Volume 2.
[8] Ameling, W., Ein schneller Funktionsgenerator für eine digitale
Integrieranlage. Elektronische Datenverarbeitung, Heft 1, 1966,
8. 36—47,
[9] Rowley, G. C., Digital Differential Analyzers. British Communica-
tions and Electronics, Dez. 1958, S. 934—-938.
[10] Bellomy, F., Digital Differential Analyzer. Electro-Technology,
April 1965, S. 69 — 74.
[11] Page, C., Error Analysis and Compensation with a DDA. Instru-
ments and Control Systems, July 1964, S. 141— 144.
[12] Braun, E. L., Design features of current digital differential analy-
zers. IRE Electronic computers and information theory, 2 (1954),
Part 4, S. 87-97.
[13] Mitchell, J. M., und Ruhmann, S., The TRICE—a high speed
incremental computer. IRE National Convention Record 1958
Part 4, S. 206— 216.