Ein elektronischer Koordinatenwandler ohne Diodennetzwerke und seine Anwendung bei der Messwertverarbeitung mechanischer Groessen
BEIRBERTATION
"Ein elektronischer Koordinatenwandler
ohne Diodennetzwerke
und seine Anwendung
bei der Meßwertverarbeitung mechanischer Größen"
ausgeführt zum Zwecke der Erlangung des akademischen
Grades eines Doktors der technischen Wissenschaften
eingereicht an der Technischen Universität Wien
von
Dipl.Ing. Fritz Vogel
2460 Bruck/L., Höfleinerstr. 966
Wien, im September 1977
Es wird ein nach einem neuen Verfahren arbeitender elek-
tronischer Koordinatenwandler für die Umwandlung von kar-
tesischen Koordinaten in Polarkoordinaten beschrieben, der
es erlaubt, bei geringen Naterialauiwand eine sehr gute
Rechengenauigkeit zu erreichen.
Das Rechenverfahren für die Bestimmung des Polarwinkels p
aus den vorgegebenen kartesischen Zoordinaten x, y beruht
auf folgendem Gedanken: Abweichend von der üblichen Anwen-
dung trigonometrischer Beziehungen wird zunächst eine ein-
fach zu realisierende Hilfsfunktion f() berechnet, die durch
eine zweite Hilfsfunktion g(p) linearisiert wird: 9=f(p)g(p).
Die Darstellung der Funktion g(p) erfolgt in einer Rechen-
schaltung mit spannungsabhängigen Widerständen (Varistoren).
Auf die Anwendung kostspieliger Diodenfunktionsgeber kann
deshalb verzichtet werden.
Das beschriebene Rechenverfahren wird mit bekannten analogen
und digitalen Verfahren verglichen. Die bestehenden Vor- und
Nachteile werden gegenübergestellt.
Ein eigenes Kapitel ist den Rechenfehlern, ihren Ursachen und
ihrer Messung gewidnet. Möglichkeiten zur Erhöhung der Rechen-
genauigkeit werden aufgezeigt.
Abschließend werden anhand zweier Anwendungsbeispiele die
Einsatzmöglichkeiten des Koordinatenwandlers und seine Vor-
teile bei der Meßwertverarbeitung mechanischer Größen be-
schrieben.
ME rr ken nung
Herrn o.Prof.Dipl.Ing.Dr.techn. Alexander Weinmann
danke ich sehr fiir die Betreuung dieser Arbeit.
Herrn o.Prof.Dr.phil. Rupert Patzelt danke ich
ebenfalls fiir seine Anregungen und das Interesse,
das er meiner Arbeit entgegenbrachte.
Weiterhin schulde ich Dank Herrn em.Prof.Dipl.Ing.
Dr.techn. Adolf Slattenschek, der es mir ermöglichte,
diese Dissertation an der Technischen Versuchs- und
Forschungsanstalt der T.U. Wien durchzuführen, sowie
Herrn Dipl.Ing.Dr.techn. Wilhelm Tauffirchen und
Herrn Ing. Gerhard Benedikter für ihre wertvollen
Hinweise und fruchtbringenden Diskussionen.
Inhaltsverzeichnis Seite
1. Problemstellung 1
2° Bekannte analoge Verfahren für die
Umwandlung von kartesischen Koordi-
naten in Polarkoordinaten 4
2,1 Darstellung von Vektor-Betrag und
Polarwinkel mit Hilfe von Winkel-
funktionsgebern 4
Cac Annäherung der arctan-Funktion durch
eine Exponentialfunktion 6
3. Digitale Verfahren für die Umwand-
lung von kartesischen Koordinaten in
Polarkoordinaten 11
2,4 Parallel arbeitendes Digitalrechen-
werk mit Festwertspeichern als
Funktionsgeber 11
3.2 Digital arbeitender Koordinaten-
wandler mit Mikroprozessor 18
4. Realisierung eines neuen Koordi-
natenwandlers 21
Lt Bildung des Vektor-Betrages 21
4.2 Die Darstellung des Polarwinkels 22
4.2.1 Erzeugung einer Hilfsfunktion f (p) 22
4.2.2 Die Linearisierung von f (9) 26
Seite
4.2.2.1 Der Varistor 26
4.2.2.2 Korrekturschaltungen mit Varistoren 28
4.2.3 Übergang auf Vierquadrantenbetrieb 53
4.2.4 Praktische Schaltungsausführung 34
Be * Rechengenauigkeit 49
5.1 Überblick über die zu erwartenden
Fehler und Maßnahmen zur Erhöhung
der Rechengenauigkeit 39
562 Messung der statischen und dyna-
mischen Fehler des Koordinaten-
wandlers 45
Seco Statische Fehler 45
5.2.2 Dynamische Fehler 46
5.2.3 Rauschen 47
6. Gegenüberstellung der einzelnen
beschriebenen Koordinatenwandler-
typen 52
7. Anwendungsbeispiele für den neuen j
Koordinatenwandler 55
7.1 Beschleunigungsmessung an einen
bewegten Körper mit drei Freiheits-
graden (ebene Bewegung) 55
7.2 Analyse des zweiachsigen Spannungs-
zustandes mechanisch beanspruchter
Körper 63
8. Zusammenfassung 68
9. Literaturverzeichnis 69
Anhang:
-_ ET
Bilder, Schaltpläne
Bild
Bild
Bild
Bild
Bild
Bild
Bild
Bild
hAw1
AA. 2
A423
A4.4 :
A4.5 :
A4.6
A4.7
A4.8
: Verstärkerschaltung, Typ 1:
Berienschaltung von ohmschen
Widerstand und Varistor im Ein-
gangskreis des Operationsver-
starkers
: Verstärkerschaltung, Typ 2:
Parallelschaltung von ohmschen
Widerstand und Varistor im Ein-
gangskreis des Operationsver-
starkers
: Verstarkerschaltung, Typ 3:
Serienschaltung von ohmschen
Widerstand und Varistor im
Rückführungskreis des Opera-
tionsverstärkers
Verstärkerschaltung, Typ 4:
Parallelschaltung von ohmschen
Widerstand und Varistor im
Rückführungskreis des Opera-
tionsverstärkers
Praktische Ausführung des
Koordinatenwandlers
: Schaltplan Vektor Betrag
: Schaltplan Absolutwert,
Dividierer
: Schaltplan Linearisierungs-
verstärker, Quadrantenschalter
Seite
74
ve
76
72
78
23
80
81
Bild A4.9
Bild A4.10:
Bild A411:
Bild A4.12:
Bild A7.4
Bild A7.2
sn Ye
: Schaltplan Testsignal-Generator
Schaltplan Überwachungsschaltung
Schaltplan Netzteil
Verdrahtungsplan
: Phantomkopf und Fallmaschine für
die Untersuchung von KFZ-Wind-
schutzscheiben
: Phantomkopf, innerer Aufbau
Seite
82
83
84
85
86
87
1. Problemstellung
Die elektronische Messung mechanischer Größen nimmt auf
allen Gcbieten der Naturwissenschaft und Technik immer
mehr an Bedeutung zu. Ein sichtbares Zeichen dafür ist
die Vielzahl von Geräten, die speziell für diesen Zweck
entwickelt wurden und deren Zahl laufend ansteigt.
Eine wichtige Gruppe unter den mechanischen Größen nehmen
diejenigen ein, die einen zeitabhängigen, vektoriellen
Charakter aufweisen, also Größen, für deren Definition
zwei Werte erforderlich sind: ihr Betrag und die Richtung,
in der sie wirken. Die wichtigsten Vertreter dieser Gruppe
sind: Kräfte, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen, Deh-
nungen und Spannungen.
Diese Größen werden heute fast ausschließlich mit Hilfe
elektrischer Verfahren erfaßt. Es ist deshalb naheliegend,
für eine zeit- und kostensparende Auswertung dieser Meß-
ergebnisse ebenfalls elektronische Geräte in Form von
Analog- oder Digitalrechnern einzusetzen, die es erlauben,
die Meßwerte bereits während des Meßvorganges entsprechend
aufzubereiten und verschiedene Rechenoperationen durchzu-
führen. Dies ist besonders dann von Bedeutung, wenn
durch den direkten Vergleich des Rechenergebnisses
mit der gemessenen physikalischen Größe die Aus- |
wertung wesentlich vereinfacht wird, oder wenn für ein
bestimmtes Ergebnis nicht der Meßwert selbst, sondern
nur eine aus ihm abgeleitete Größe betrachtet werden
soll.
In vielen Fällen ist es sogar unbedingt erforderlich,
daß gleichzeitig mit der Messung einer mechanischen
Größe sofort auch eine rechnerische Auswertung vorge-
nommen wird, beispielsweise bei verschiedenen Regelungs-
aufgaben oder bei der Überwachung von Vorgängen oder Ver-
suchen, die abgebrochen werden sollen, wenn das Ergebnis
von einem vorgeschriebenen Wert zu stark abweicht.
Bei diesen Auswertungen tritt häufig das Problem auf, daß
ein für die Messung vorgegebenes Bezugssysten in cin
anderes übergeflührt werden soll. Ziel dieser Arbeit war
deshalb die Entwicklung eines elektronischen Koordina-
tenwandslers für die Umwandlung von kartesischen Koordi-
naten in Polarkoordinaten, unter Berücksichtigung der
folgenden Anforderungen:
1) Der Rechner soll für die Erfassung rasch ver-
änderlicher mechanischer Vorgänge geeignet sein,
Als höchste auftretende Signalfrequenz werden
2 kHz angenomnen.
2) Der Koordinatenwandler muß in Echtzeitbetrieb
arbeiten, es sollen also auch über einen längeren
Zeitraum ankommende Meßdaten vererbeitet werden
können.
3) Als Eingangssignale stehen die von den Meßwert-
aufnehmern bzw. von den nachgeschalteten Meß-
verstärkern gelieferten Analogspannungen im Be-
reich von + 10 V zur Verfügung.
4) Zur Darstellung auf einem Oszillografen oder Ab-
speicherung auf einem Magnetbandgerät soll die
Ausgabe des Rechenergebnisses ebenfalls in Form
von Analogspannungen im Bereich von + 10 V er-
folgen.
5) Für eine gleichzeitige Registrierung der Meß-
signale und der Auswerteergebnisse muß die Aus-
gabe der Rechenergebnisse kontinuierlich und
simultan erfolgen
6)
7)
8)
-~ 4 -
Die Rechengenauigkeit des Koordinatenwandlers
soll im Interesse einer preisgiinstigen Reali-
sierung an die Genauigkeit der zum Einsatz
kommenden Meßwertaufnehmer und Registriergeräte
angeglichen sein. Der maximale Rechenfehler soll
1 % vom Endwert nicht überschreiten.
Die Bedienung des Gerätes muß möglichst einfach
sein und ohne besondere Einschulung durchgeführt
werden können.
Durch entsprechende Zusatzeinrichtungen soll
einerseits eine rasche Funktionskontrolle des
Rechners und andererseits die Anpassung an
verschiedene Meßprobleme möglich sein.
Für die Verwirklichung der oben angeführten Punkte wurde
ein Koordinatenwandler in Analogtechnik entworfen, .bei
dem die Darstellung des Polarwinkels nach einer neu-
artigen Methode erfolgt. Das Arbeitsprinzip dieses
Koordinatenwandlers wird in Kapitel 4 näher beschrieben,
2. Bekannte anslope Verfahren für die Umwandlung von
kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten
2.1. Darstellung von Vektor-Betrag und Polarwinkel
mit Hilfe von Winkelfunkti.onsgebern
Die Umwandlung von kartesischen Koordinaten in Polar-
koordinaten ist in der Analogrechentechnik und Meßwert-
verarbeitung ein häufig wiederkehrendes Problem. Man
findet deshalb in der Fachliteratur eine Reihe von Rechen-
schaltungen, die speziell für die Lösung dieser Aufgabe
entwickelt wurden.
In /18/ wird eine Rechenanordnung beschrieben, die die
trigonometrischen Beziehungen zwischen kKartesischen
Koordinaten und Polarkoordinaten ausnützt.
Wie Bild 2.1.1 zeigt, kann
der Vektor-Betrag r aus
zwei Teilkomponenten zu- y i >
sammengesetzt werden: < >
of A
4. \
4?
% |
Y N
B }
Bild 2.1.1
r= x.cosy + y.sinp (sisi)
Weiters gilt fiir die Strecke AB in Bild 2.1.1:
AB = x.siny = y.cosy oder
O = x.sinp - y.cosp = F(p) (2,1,2)
Mit Hilfe dieser Beziehung kann der Polarwinkel p be-
réchnet werden.
=
x sinw
Y
Vv
x.cCOSY
y.sinp
y.cosp
F (y)
\ x
Gi x
Bild 2.1.2: Rechenschaltung zur Transformation von
kartesischen Koordinaten in Polarkoordi-
naten.
Durch die beiden Winkelfunktionsgeber und die Multipli-
zierer M i und M 4 wird die Hilfsfunktion F (p) erzeugt,
die an den Eingang des Regelverstärkers Vp gelegt wird.
Dieser Verstärker regelt seine Ausgangsspannung Uy so
lange nach, bis F (») entsprechend der Gleichung (2.1.2)
Null geworden ist. Die Spannung U entspricht dann dem
Polarwinkel 9.
Mit dieser Rechenschaltung lassen sich extrem hohe
Rechengenauigkeiten erzielen. Bei günstiger Aussteue-
rung der Koordinatenwandlereingänge können Fehler <0,1 %
erreicht werden.
Allerdings hat dieses Rechenverfahren den Nachteil, daß
die Genauigkeit nur durch einen sehr hohen Schaltungs-
aufwand (vier Multiplizierer, zwei Diodenfunktionsgeber)
erreicht werden kann. Die Verwendung dieser Rechenan-
ordnung erscheint deshalb nur dann sinnvoll, wenn dic
gebotene Genauigkeit voll ausgenützt werden kann und
wenn die Kosten sekundäre Bedeutung haben, wie dies zum
Beispiel bei großen Präzisionsrechenanlagen der Fall ist.
Weiters muß als Nachteil die Tatsache erwähnt werden,
daß der Rechner beim Einschalten oder bei Übersteuerung
instabil werden kann.
Die Gleichung (2.1.2) ist nämlich nicht nur für einen
einzigen Wert erfüllt, sondern auch für alle weiteren
Winkel
Es 1äßt sich zeigen, daß von allen Lösungen der Glei-
chung (2.1.2) nur diejenigen stabil sind, für die die
Bedingung
[| > 0 (2,4,3)
K
dp
erfüllt ist.
Der Rechner muß deshalb durch eine Rückholschaltung er-
gänzt werden, die den Ausgang des Regelverstärkers Vp
automatisch auf Null setzt, sobald der Differentialaus-
druck in Gleichung (2.1.3) negativ wird.
2.2. Annäherung der arctan-Funktion durch eine
Exponentialfunktion
Bei der Koordinatentransformation ist eine exakte Be-
rechnung des Polarwinkels p mit Hilfe der arctan-
Funktion praktisch nicht möglich. Die Ursache dafür
- 7 -
liegt in dem unendlich großen Dynamikbereich, den der
Quotient z für einen Polarwinkel O < p <90° zu über-
streichen hat. Es gibt jedoch ein sehr einfaches Ver-
fahren, bei dem der arctan durch eine Exponentialfunktion
angenäöhert wird /34/.
Die Funktion
yya
5
T
Zs . — ; aa 1,2125 (2.2.4)
folgt im Bereich O sz = E mit sehr guter Genauig-
keit der arctan-Funktion.
Den Fehlerverlauf der Näherung, aufgetragen über dem
Polarwinkel 9 , zeigt Bild 2.2.1.
0,8
0,6 | =
0,4 a : f \
63 / N
Fo VA \
| {2 3 4 \so 60 7 feo 90
-02 7
7 N
~ WA WA
-0,8
%
grad
v———
Bild 2.2.1: Fehlerverlauf der Näherungsfunktion
Da sowohl im Zähler als auch im Nenner von Gleichung
(2.2.1) der Ausdruck (#)° steht, erfolgt die Dar-
stellung der Funktion z am einfachsten in einer
Rechenschaltung mit Rückkopplungszweig. 1)
Das Bild 2.2.2 zeigt den Aufbau einer solchen Rechen-
anordnung«
YO
x0-——
02x arctan(2 -)
Tt he
leet than \j—_—-———--=- 2
Bild 2.2.2: Implizierte Rechenschaltung zur Erzeugung
einer Näherungsfunktion für den arctan
Die Schaltung arbeitet nach folgendem Prinzip:
Am Ausgang des Multiplizierers erscheint ein Signal
zei, (2)? (2.2.2)
Dieses Signal z wird von einer konstanten Größe
subtrahiert:
1) Diese Schaltungen werden in der Literatur häufig
auch als "implizite Rechenschaltungen" bezeichnet.
Einsetzen von u in Gleichung (2.2.2) liefert:
= (EL ya
2 = (5 Zz) e Cs) bzw.
Os E + Cod = 5 (=)* n und daraus
folgt die gesuchte Beziehung
Tt
Zs
ae
1+ A
Der große Vorteil dieser Rechenschaltung liegt in ihrem
einfachen Aufbau, wodurch sie besonders gut geeignet
erscheint für die Verwendung als Rechner-Baugruppe in
der Meßwertverarbeitung.
Es werden heute von mehreren Bauteile-Herstellern
Module angeboten, die es erlauben, den Dividierer, den
Exponentialfunktionsgeber und den Multiplizierer in
Bild 2.2.2 durch einen einzigen Multifunktionsbaustein
zu ersetzen /8/,/9/.Mit diesen Bausteinen lassen sich
äußerst preisgünstige Rechenschaltungen mit relativ
guter Genauigkeit herstellen. Bei einer praktisch er-
probten Schaltung wurden für den Bereich O <p < 90°
Fehler besser als 1 % gemessen.
Leider besitzen diese Rechenschaltungen auch eine Reihe
von Nachteilen, die ihre Einsatzmöglichkeiten sehr stark
einschränken:
1) Es können nur positive Eingangssignale verarbeitet
werden, d. h. es können nur Winkel im 1. Quadranten
berechnet werden.
r
2) Die Frequenzbandbreite ist sehr stark von der Höhe
der Eingangsspannungen abhängig und sinkt sehr
rasch mit kleiner werdenden Eingangssignalen /8/.
Wie alle Rechenanordnungen mit Rückkopplungs-
zweigen neigt auch die oben beschriebene Schaltung
zum selbständigen Schwingen. Diese Schwingungen
müssen durch geeignete Korrekturen des Frequenz-
ganges, Z« B. durch Einfügen eines Tiefpaßfilters
in den Rückkopplungszweig unterbunden werden.
In der praktisch erprobten Schaltung mußte ein
RC-Filter mit einer Zeitkonstante T = 2.10”? sec
vor den Eingang des Summierers Vi (Bild 2.2.2)
gelegt werden. Durch dieses RC-Glied wird jedoch
die Frequenzbandbreite der Rechenschaltung noch
weiter reduziert (- 0,5 dB Grenzfrequenz: 470 Hz).
3. Digitale Verfahren für die Umwandlung von
kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten
3.1 Parallel. arbeitendes Digitalrechenwerk mit
Festwertspeichern als Funktionsgeber
Vergleicht man verschiedene analoge und digitale Rechen-
verfahren, so scheint für den Aufbau eines Koordinaten-
wandlers ein parallel arbeitendes Digitalrechenwerk am
besten geeignet zu sein, weil es die Rechengeschwindig-
keit der Analogtechnik mit den Vorteilen der Digital-
rechner vereinigt, ohne daß jedoch die Nachteile der
Analogrechentechnik, wie zum Beispiel Drift, schlechte
Langzeitstabilität, begrenzte Rechengenauigkeit u.s.w.
/40/, mit in Kauf genommen werden müssen. Trotzdem
konnten bis vor kurzer Zeit parallel arbeitende Rechen-
werke schon allein aus Kostengründen nicht in Erwägung
gezogen werden.
Durch die technologischen Fortschritte bei der Her-
stellung schneller Festwertspeicher mit großer Kapa-
zität gewinnt dieses Rechenverfahren jedoch immer mehr
an Bedeutung. Ein Lösungsvorschlag für einen Koordi-
natenwandler, der nach diesem Prinzip arbeitet, soll
deshalb im folgenden diskutiert werden.
Bild 3.1 zeigt das Blockschaltbild eines Koordinaten-
wandlers mit parallel arbeitendem digitalen Rechenwerk,
wie es für die Verarbeitung mechanischer Meßgrößen ver-
wendet werden könnte. Die in analoger Form zur Verfügung
stehenden Eingangssignale x und y müssen zunächst in
parallele Digitalzahlen x*, y* umgewandelt werden.
Im Blockschaltbild sind vor den Analog-Digital-Wandlern
noch zwei "Sample and Hold-Verstärker" eingezeichnet,
die folgende Aufgabe zu erfüllen haben. Da die AD-Kon-
verter eine bestimmte Zeit benötigen um das Eingangs-
signal zu digitalisieren, würde bei raschen Meßvorgängen
12 -
*
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ajeubisGoyeuy A’ af AY x
eine Änderung des Signalpegels während dieser Konver-
sionszeit zu Umsetzfehlern führen. Die vorgeschalteten
Sample and Hold-Verstärker übernehnen jedoch zu einen
bestimmten Zeitpunkt das Meßsignal und halten es während
der Konversionszeit konstant. Ist die Umsetzung beendet,
erhält der SH-Verstärker erneut den Befehl, das Ein-
gangssignal abzufragen.
Nach der Umsetzung der Eingangsgrößen erfolgt die weitere
Berechnung der Polarkoordinaten in digitaler Form. Zur
Erzeugung der nichtlinearen Funktionen (Quadrierer,
Radizierer, inverse: Winkelfunktion) werden Festwert-
speicher verwendet, die als "elektronische Wertetafeln"
arbeiten. Über die Adress-Eingänge der Speicher werden
die Variablen eingegeben, die Speicherinhalte geben dann
die dazugehörigen Funktionswerte wieder.
Der Speicherplatzbedarf Ng für eine derartige Funktions-
werttabelle wird durch die gewünschte Auflösung und da-
mit durch die verwendete Bit-Anzahl bestimmt. Für eine
Wortlänge von n Bit sind n.?” Speicherzellen erforder-
Ich»
Ne = wg (3.1)
Auch ein Dividierer-Rechenwerk kann mit Hilfe eines
Festwertspeichers aufgebaut werden, wenn die Division
auf das Produkt aus Dividend und dem Kehrwert des
Divisors umgeformt wird. Die digitale Multiplikation
wird dann zum Beispiel durch fortgesetzte Addition in
einem Parallelrechenwerk ausgeführt, während die
reziproken Werte des Divisors wieder einem Halbleiter-
speicher entnommen werden.
Die auf diese Weise berechneten Polarkoordinaten r
und % werden durch zwei Digital-Analog-Wandler
wieder in Analogsignale zurückverwandelt und können
einem entsprechenden Registriergerät zugeführt werden.
Der größte Vorteil dieses Rechenverfahrens ist seine
hohe Arbeitsgeschwindigkeit. Sie wird praktisch nur
durch die Konversionszeit der Analog-Digital-Wandler
bestimmt und. liegt für handelsübliche Typen, je nach
der Bit-Anzahl, im Bereich von einigen Mikrosekunden.
Die Rechenzeit der Addierer (ca. 60 ns) und die
Zugriffszeit der Speicher (ca. 50 ns bei TIL-
Speichern) sind demgegenüber ~ auch wenn man beachtet,
daß sich die Rechenzeiten der einzelnen arithmetischen
Stufen addieren - zu vernachlässigen.
Als weiterer Vorteil kommt hinzu, daß für die Durch-
führung der Rechenoperationen keine Takt- und Steuer-
signale benötigt werden. Das Rechenwerk arbeitet also,
ebenso wie im Analogrechner, in Echtzeit. Eine Ab-
speicherung von Ergebnissen zwischen den einzelnen
Rechenschritten ist deshalb nicht erforderlich.
Der große Nachteil eines Koordinatenwandlers auf der
Basis eines parallel arbeitenden Digitalrechenwerkes
liegt in dem hohen erforderlichen Schaltungsaufwand — und
damit verbunden - in den hohen Materialkosten. Diese
werden einerseits durch die Datenwandler an den Ein-
gängen und Ausgängen des Rechners verursacht und
andererseits durch den großen Speicherbedarf, der nach
Glg. (3.1) exponentiell mit der verwendeten Bit-Anzahl
ansteigt.
Die erforderliche Bit-Anzahl richtet sich bei vorge-
schriebener Genauigkeit des Rechenergebnisses in erster
Linie nach dem Auflösungsvermögen der einzelnen
Funktionstabellen. Dieses ist jedoch wegen der nicht-
linearen Zusammenhänge zwischen den Variablen und
ihren Funktionswerten und wegen der erforderlichen
Skalierungsfaktoren wesentlich schlechter als das
Auflösungsvermögen der AD-Wandler..
*(4{cempug-syotedeg wep ne
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| -U9TTIZIIAUITSÄg iep uSFOouIsAasgunsaoTFny saTeuTuTu aap ZuimsoTmy | STE
In Tabelle
hangigkeit von der Bit-Anzahl zusammengestellt. Eine
4.1 sind die theoretischen Werte in Ab-
weitere Spalte in Tab. 3.1 gibt den benötigten Speicher-
platzbedarf an.
Ist z. B. ein Auflösungsvermögen von 1 % gefordert, so
ergibt sich daraus eine Wortlänge von 14 Bit. Für einen
nach Bild 4.1 aufgebauten Koordinatenwandler wäre dann
6 Ara ss
Speicherplatzen
eine Gesamtspeicherkapazitat von ca. 10
(bzw. 85 K-Bytes) erforderlich. Ein Festwertspeicher
mit einer derart großen Speicherkapazität ist jedoch
auch beim heutigen Entwicklungsstand mit so hohen
Materialkosten verbunden, daß dieses Rechenverfahren
nur in solchen Sonderfällen zur Anwendung gelangen
wird, wo höchste Rechengeschwindigkeit verlangt werden
muß.
Der erforderliche Speicherplatzbedarf läßt sich
sehr stark reduzieren, wenn die nichtlinearen Funk-
tionen durch lineare Interpolation erzeugt werden /30/.
Es müssen dann nicht mehr alle für eine gewünschte
Auflösung erforderlichen Funktionswerte abgespeichert
werden, sondern nur mehr geeignet ausgewählte "Stütz-
stellen" (Bild 3.2). Zur Ermittlung der einzelnen
Funktionswerte wird die nachfolgende Interpolations-
formel angewendet:
f(x,) - £(Xp)
f (x) =f (xy) + (x-X9) (3.2)
| “7 *0
Für die praktische Realisierung ist es bequemer, diese
Gleichung in etwas abgewandelter Form zu verwenden:
f (x) =f (xX) + (x-Xp) . tana (3.3)
ox 47 m
mit
f(x,) - f(x,)
tan a = A 2 (3.4)
X4-XQ_
Im Bild 3.3 ist das Blockschaltbild eines nach diesem
Prinzip arbeitenden Tunktionswertgebers dargestellt.
f(x)A
f(x)
b
u a X0,%,....Stützstellen
f (X 9) >
Af =f(x)-f(x)
Xo | X x x
Bild 3.2: Lineare Interpolation
Der bei der Approximation auftretende Fehler
Af=f (x) - f (x) (3.5)
kann durch die gewählte Anzahl der Stützstellen und
durch die Optimierung ihrer Lage auf der Abszisse an
die erforderliche Rechengenauigkeit angepaßt werden.
Dieses Verfahren erfordert zwar gegenüber dem erst-
genannten eine wesentlich geringere Speicherkapazität,
der Aufwand an Logikkomponenten (Multiplizierer,
Subtrahierer usw.) ist jedoch wesentlich höher. Beide
Verfahren unterscheiden sich deshalb in den Gesant-
kosten nur unwesentlich.
DEKODIERUNG
(STUTZSTELLEN -
AUSWAHL }
Xo
xX jp % % X;
FESTWERT- FESTWERT-
PARALLEL- SPEICHER I SPEICHER II
SUBTRAHIERER
tan a f(x,)
X- Xp tan a
PARALLEL f (Xo) PARALLEL -
MULTIPLIZIERER -{ SUMMIERER
(x-x,).tan a
j—t> f (x)
Bild 3.3: Blockschaltbild des Funktionswertgebers
4.2 Digital arbeitender Koordinatenwandler mit
Mikroprozessor
Durch den Einsatz eines Mikroprozessors als Rechenelement
ergibt sich eine weitere Möglichkeit, einen digital ar-
beitenden Koordinatenwandler aufzubauen.
Unter dem Ausdruck Mikroprozessor ist ein System aus
einem oder mehreren LSI-Bausteinen zu verstehen, dessen
Kern durch die sogenannte Zentraleinheit (CPU) gebildet
wird. Diese Zentraleinheit beinhaltet im wesentlichen
eine arithmetische Einheit, verschiedene Arbeits-
register und die Ablaufsteuerung. Um ein arbeitsfähiges
System zu erhalten, muß die CPU-Einheit durch Pro-
gramm- und Arbeitsspeicher und durch Ein-Ausgabeein-
heiten ergänzt werden.
Es ist eine kennzeichnende Eigenschaft aller Nikro-
prozessor-Systeme, daß Programminstruktionen
sequentiell ausgeführt werden, wodurch die Durch-
führung komplexer Berechnungen grundsätzlich langsamer
= 35 «
vor sich gehen muß als bei fest verdrahteten Logik-
Netzwerken. Zusätzlich führt die sequentielle Arbeits-
weise zu einer diskontinuierlichen Darstellung der
Rechenergebnisse. Die Rechengeschwindigkeit eines Mikro-
prozessors ist deshalb das wichtigste Eignungskriterium,
wenn er für die Meßwertverarbeitung dynamischer Vorgänge
eingesetzt werden soll.
Im Gegensatz zum Analogrechner und zu parallel arbei-
tenden Digitalrechnern, wo die maximale Rechenge-
schwindigkeit für ein bestimmtes Problem relativ leicht
abgeschätzt werden kann, ist das beim Mikroprozessor
wesentlich schwieriger, weil hier die effektive Rechen-
geschwindigkeit durch das Zusammenwirken mehrerer
Faktoren bestimmt wird. Es sind dies im wesentlichen:
a) die maximale Taktfrequenz bzw. die kürzeste
Zykluszeit
b) die Leistungsfähigkeit des Instruktionssatzes
eines Mikroprozessors
c) die Anzahl der Speicher-Adressiermöglichkeiten
d) die verwendete Herstellungstechnologie
e) die Leistungsfähigkeit der Ein- und Ausgabe-
schaltkreise
f) die zur Verfügung stehende Programmspeicher-
kapazität, durch die die anwendbare Software
bestimmt wird.
Als Grundlage für die Abschätzung der erforderlichen
minimalen Rechengeschwindigkeit eines Mikroprozessors
werden die in Kap. i genannte maximale Signalfrequenz
von 2 kHz und ein maximaler Rechenfehler von ca. 1 %
angenommen. Zur Erzielung dieser Rechengenauigkeit
müssen pro Periode des Eingangssignales mindestens
hundert Funktionswerte berechnet werden. Damit ergibt
sich pro Funktionswert eine maximale Rechenzeit von
ca. 5 us.
Im Vergleich dazu benötigt ein in MOS-Technologie her-
gestellter Standard-Mikroprozessor für die Durchführung
einer Hultiplikation zweier 8-Bit-Binärzahlen bis zu
1800 us /28/ . Durch spezielle Berechnunssalgorithnmen
und durch Verwendung von bipolaren Bausteinen kann .diese
Zeit jedoch um bis zu drei’ Zehnerpotenzen herabge-
setzt werden. Für die Gesamtrechenzeit einer Koordi-
natentransformation, bei der ja verschiedene Rechenvor-
gänge nacheinander ausgeführt und Zwischenergebnisse
abgespeichert werden müssen, lassen diese Zahlenwerte
Jedoch erkennen, daß die oben genannte Zeit von 5 us
nur sehr schwer erreichbar ist.
Neben dieser Tatsache muß beachtet werden, daß gerade
der größte Vorteil eines Nikroprozessors, nämlich seine
Flexibilität, bei einem "Einzweckrechner" wie ihn der
Koordinatenwandler darstellt, überhaupt nicht genutzt
wird.
Für die Durchführung komplexer Rechenvorgänse im Echt-
zeitbetrieb erscheint deshalb der Mikroprozessor auf
seinem derzeitigen Entwicklungsstand noch wenig ge-
eignet zu sein. Es muß jedoch erwähnt werden, -daß
gerade auf diesem Gebiet durch die Anwendung neuer
Herstellungstechnologien und durch die Weiterent-
wicklung von teilweise bit-parallel arbeitenden
Prozessoren ("Array-Processors") für die nahe Zu-
kunft mit großen Fortschritten in bezug auf Rechen-
geschwindigkeit und Kostenaufwand gerechnet werden
darf.
4. Realisierung eines neuen Koordinatenwandlers
4.1. Bildung des Vektor-Betrages
Die Rechenschaltung für die Berechnung des Vektor-
Betrages r aus den Eingangskoordinaten x und y
ist eine direkte Realisierung der Gleichung
re x +y ae oe
Sie weist keine schaltungstechnischen Besonderheiten
auf. Im Bild 4.1.1 ist das Blockschaltbild des Rechners
dargestellt.
x2+y2
Bild 4.1.1
Die beiden Eingangsgrößen x und y werden zunächst
in zwei Multipliziererstufen quadriert und die Qua-
drate dann in einer Addierstufe aufsummiert. Der nach-
folgende Inverter gleicht die am Summierausgang auf-
tretende Vorzeichenumkehr wieder aus. Als letzte Stufe
folgt dann ein als Radizierer geschalteter Dividierer,
der entsprechend der Gleichung (4.1.1) die Wurzel aus
der Quadratsumme bildet.
Bei der Schaltungsauslegung für diesen Rechner muß
beachtet werden, daß der Vektorbetrag r auch als
Eingangsvariable für die Bestimmung des Polarinkels p
benötigt wird. Es wird sich daher jeder Fehler bei der
Berechnung von r auch im Gesamtfehler bei der Be-
rechnung von p auswirken. Aus diesem Grund wurden für
die Quadricrer und für den Radizierer Präzisionsrechen-
bausteine verwendet.
4.2. Die Darstellung des Polarwinkels »
4.2.1. Erzeugung einer Hilfsfunktion f (9)
In dem folgenden Abschnitt der Arbeit soll eine neue
Methode zur Berechnung des Polarwinkels untersucht
werden, die es erlaubt, mit geringem Schaltungsaufwand
eine sehr gute Rechengenauigkeit zu erreichen.
Das Verfahren beruht auf folgendem Grundgedanken:
Man verwendet fiir die Berechnung des Polarwinkels nicht,
wie üblich, die Beziehungen
p= arctan 2 oder 9° = arcsin =
sondern bestimmt 9 in zwei Schritten. Zunächst wird
eine Hilfsfunktion f (9) berechnet:
f(y) = et (Hsu)
1 + sing
Die so gebildete Funktion f (9) wird in einem
weiteren Rechenschritt durch eine zweite Hilfs-
funktion g (») linearisiert:
fCp).g Cp) =K wy (4.2.2)
K ... Maßstabsfaktor
Diese Methode bringt eine Reihe von Vorteilen mit sich:
1.) Die Funktion f (9) läßt sich sehr einfach
und ohne die Verwendung teurer Winkelfunktions-
geber realisieren.
Nach Bild 2.1.1 ist nämlich
cos p
ti
Bx
sin p
i
His
Somit erhält man aus Gleichung (4.2.1)
f(y) = — (4.2.3)
r¢+y
Die Bestimmung von f (9) kann also auf eine
einfache Division zurückgeführt werden.
2.) Die Funktion f (9) besitzt nur eine sehr
schwache Krümmung und ändert deshalb ihren
N
\
085r—- IT
\
f(y) INS
06 \
N
NA Bild 4.2.1:
02 | NX Verlauf von f (9)
N im ersten Winkel-
quadranten
0 is 30 45 60 75 90
4.)
Wert nahezu proportional mit dem Polar-
winkel » . (Die maximale Abweichung von
der Geraden beträgt etwa 8 %; siehe
Bild 4.2.1). An die Korrekturschaltung
für die Linearisierung von f (9) müssen
deshalb keine hohen Anforderungen gestellt
werden. Wieim nächsten Kapitel gezeigt
werden wird, läßt sich diese Korrektur-
schaltung mit nur einer Operationsver-
stärkerstufe aufbauen.
Wie aus Gleichung (4.2.1) zu ersehen ist, ist
f Cp) und damit auch die nachfolgende
Korrekturfunktion g (9) unabhängig vom Ab-
solutbetrag des Vektors bzw. unabhängig vom
Betrag der Eingangsgrößen x und y. Die
Korrekturschaltung ist daher immer optimal
ausgesteuert, wodurch sich trotz eines ein-
fachen schaltungstechnischen Aufbaues eine
hohe Rechengenauigkeit erzielen läßt.
Der Rechner für die Bestimmung von p ist
von seiner Struktur her eine Aneinander-
reihung einzelner Rechnerstufen. Schwingungs-
neigungen, wie sie z. B. durch die Rück-
führungsschleifen der inplizierten Schaltung
nach Kapitel 2.2 entstehen, werden hier also
von vornherein ausgeschaltet. Demzufolge
tritt auch keine Reduzierung der Frequenz-
bandbreite durch schwingungsdämpfende
Filterglieder auf.
Das Bild 4.2.2 zeigt das komplette Blockschaltbild des
Rechners fiir den ersten Winkelquadranten C¥ FO, y>0).
Im unteren Bildteil ist der Verlauf der Signalspannungen
aufgetragen über dem Winkel y- dargestellt.
Das Diagramm a) zeigt die Ausgangsspannung des Divi-
dierers, die der Funktion f (9) entspricht. Diese
Spannung wird in der nachfolgenden Rechnerstufe lineari-
siert (Bild b) ). Die Spannung U, wird anschließend noch
invertiert und zu einer konstanten Größe 5 addiert.
Es ergibt sich dann der gewünschte Spannungsverlauf
entsprechend Kurve c).
a -u2=flp). gly)
ro—Jh
yo-Jı
Uy| -Up | U3!
17 4 1
b) c)
05- 0,51 0,54
S
2 i 2 2 L vo i 7
Bild 4.2.2: Blockschaltbild des Rechners ftir die Be-
stimmung des Polarwinkels p »
4.2.2. Die Lineerisierung von f (¥)
4.2.2.4. Der Varistor
Wie im nächsten Kapitel gezeigt werden soll, lassen
sich mit spannungsabhängigen Widerständen (Varistoren)
äußerst einfache Korrekturschaltungen zur Lineari-
sierung der Hilfsfunktion f (») aufbauen.
Die Einsatzmöglichkeit von Varistoren in der Analog-
rechentechnik ist seit langem bekannt. Schon vor zwanzig
Jahren wurden in der Literatur eine Vielzahl von Rechen-
schaltungen wie Multiplizierer, Radizierer, Winkelfunk-
tionsgeber u. s. w. angegeben, die mit Varistoren reali-
siert wurden /7/,/22/.Alle diese Schaltungen hatten je-
doch gemeinsam, daß sie - bedingt durch die Spannungs-
Stromcharakteristik der Varistoren - relativ hohe Be-
triebsspannungen’von einigen hundert Volt erforderten,
was allerdings bei den damals ausschließlich verwende-
ten Röhrenschaltungen durchaus kein Nachteil war. Durch
die zunehmende Transistorisierung in der Analogrechen-
technik und dem damit verbundenen Übergang zu geringe-
ren Betriebsspannungen verloren Rechenschaltungen mit
Varistoren trotz ihrer bestechenden Einfachheit immer
mehr an Bedeutung.
Scheinbar erst durch die Erfordernisse der heutigen
Konsumelektronik wurde die Halbleiterindustrie ange-
regt, Varistortypen zu entwickeln, die auch bei niede-
ren Betriebsspannungen arbeiten. Es stehen deshalb
heute eine Anzahl von Typen zur Verfügung, die in dem
bei Analogrechnern üblichen Arbeitsspannungsbereich
von + 10 V eingesetzt werden können /10/ .
Bevor jedoch auf die Schaltungstechnik eingegangen
wird, sollen zunächst die Eigenschaften von Vari-
storen näher betrachtet werden.
we we
Varistoren sind Widerstände mit nichtlinearer Spannungs-
Strom-Kennlinic. Die nichtlineare Charakteristik kann
mit guter Näherung durch folgende Gleichung beschrieben
werden:
Uexk. (4.2.4)
Darin ist U die am Varistor anliegende Spannung,
J ist der Strom, der durch den Varistor fließt, K ist
ein dimensionsbehafteter Proportionalitätsfaktor, der
Exponent m charakterisiert die Nichtlinearität der
Kennlinie.
Im Bild 4.2.3 ist durch die Kurve J der typische Ver-
lauf einer Varistorkennlinie dargestellt.
Bei der Dimensionierung von Analogrechenschaltungen
ist es jedoch oft bequemer, nicht mit Gleichung
(4.2.4) zu rechnen, sondern direkt den spannungsab-
hängigen Widerstand des Varistors zu betrachten.
Dieser Widerstand R,. kann aus der Gleichung (4.2.4)
V
und dem ohm’schen Gesetz abgeleitet werden. Aus
U=K.a™ folgt
ts / mo» damit wird
3,8 U YV m-1
B
I
Ein typisches Beispiel für den spannungsabhängigen
Widerstand eines Varistors zeigt die Kurve Ry in
Bild 4.2, 3%
0,5 r mn
—4 5
04 ; 10M
4 2 R
J 03 im Y
-— 500
YINY I
0,2 Di {00K
Ry Lene i *o
0,1 10K
va a
4 2
0 1K
-0,1 LZ
-0,2
-0,3 /
-04
-0,5
-0-8 -6 -4 -2 0 2 4 6. 8 V 0
U ——t>
Bild 4.2.3: Strom- und Widerstandscharakteristik
eines Varistors
4.2.2.2. Korrekturschaltungen mit Varistoren
Es ist ein naheliegender Gedanke, den Varistor als
spannungsabhängigen Widerstand in den Eingangs- oder
Rückführungszweig eines Operationsverstärkers einzu-
fügen, um so verschiedene Funktionskurven nachzubilden.
Wie durch praktische Versuche bestätigt wurde, lassen
sich mit nur vier verschiedenen Operationsverstärker-
Grundschaltungen eine Vielzahl von Funktionen reali-
sieren, wenn die Widerstandsparameter der Verstärker-
schaltungen geeignet variiert werden bzw. wenn man
mehrere Schaltungstypen miteinander kombiniert.
- 29 -
Die Bilder A41 bis A44 im Anhang zeigen die vier
untersuchten Verstärkertypen mit ihren charakteristi-
schen Kurvenscharen.
Betrachtet man nun als speziellen Fall die Lineari-
sierung von f (pP), so kann nach Bild 4.2.2 für die
Eingangsspannung der gesuchten Korrekturschaltung an-
geschrieben werden:
U,=K.£(py)=K, ER. (4.2.6)
1 + sing
Ky eos MaBstabsfaktor
Fiir die Ausgangsspannung U, der Korrekturstufe wird
entsprechend Bild 4.2.2 b) gefordert:
-U, = Ky . (1 - ) (4.2.7)
via |
Aus den letzten beiden Gleichungen läßt sich demnach
die gewünschte Korrekturfunktion g (») definieren:
p .
_ (1- —) (1 + sing)
-U, K, (1 =) 3
g(p) = Fl = Ky (4.2.8)
4 K, ee cos p
1+sinp
Die Funktion g (p) nimmt für 95 die unbestimmte
Forn 2 an. Zur Lösung der Gleichung wählt man den
Ansatz:
8 (9) =} (4.2.9)
p
Nach der Regel von 1’Hospital /6/ gilt dann
we Cols in BBD (4.2.10)
ow = gu EE Cy)
2 2
Damit wird aus Gleichung (4.2.8)
ling(9)- K, =
9—— +
2
CH 24945
Für die praktische Realisierung der Korrekturfunk-
tiong (y) ist es
günstiger, die Aus-
gangsspannung U, 10
nicht als Funktion V
von $ , sondern als 8 LZ
Funktion der Ein- “U2 ra
gangsspannung U 6 ff
auszudrücken. Man Fa
erhalt diesen Zu- n X
sammenhang, wenn Fa
man Gleichung /
(4.2.6) in (4.2.7) 2
einsetzt. /
Der Verlauf von 0 2 4 6 u, 8 V 10
-U, = U, (U) ist
in Bild 4.2.4 dar-
gestellt.
Bild 4.2.4: Abhängigkeit der
Spannung U, von
der Eingangs-
spannung UL
Vergleicht man Bild 4.2.4 mit den Bildern A4.1 bis
A4.4 im Anhang, so ist zu erkennen, daß für eine
- 31 -
Korrekturschaltung am besten die Verstärkerschaltung
Typ 4 geeignet ist. Sie wird hier noch einmal kurz
skizziert.
Rz
_ Ry-R2
Rı 4 Rest
oo} Ry
Uy “Us
Korrekturschaltung
Die Ubertragungsfunktion dieser Verstarkerschaltung
ist gegeben durch
-U, Rp
ge) sgt = (4.2.12)
1 1
Ry « B
V 2
E26 ee (4.2.13)
r Ry + R,
In Verbindung mit Gleichung (4.2.8) erhält man daraus
für das Verhältnis SB, :
Ry
(1 = 2) (1 + sing)
= = 2 (4.2.14)
RR ud . .
4 cos p
(Der Faktor K, wurde gleich Eins gewählt, d. h.: einer
Eingangsspannung U = 10 V entspricht auch eine Aus-
gangsspannung -U, = 10 V).
Der Widerstand von Rp ist nicht konstant, sondern
abhängig von der Spannung U, und indirekt auch vom
Polarwinkel yp .
See
Für = 0 (#£-U, = 10 V) folgt aus (4.2.14)
2
Bar (4.2.15)
P 1 ec. ® A
Für = 5 folgt aus (4.2.11) und (4.2.14)
a
24: % !
RB= TR, (4.2.16)
Aus der Gleichung (4.2.5) bzw. aus Bild 4.2.3 ist zu
entnehmen, daß der Widerstand eines Varistors gegen“
geht, wenn die an ihm anliegende Spannung Null wird.
Für 9=5 , (d. he: -U, = 0) ist der Widerstand Rp
identisch mit R,. Es muß also nach Gleichung (4.2.16)
gelten:
alt
. R, (4.2.17)
Zur Bestimmung derjenigen Varistorkennwerte m und
K, für welche die Funktion g (9) optimal angenähert
wird, setzt man für p einen weiteren Wert in
Glg. (4.2.14) ein.
Es ergibt sich dann z. B. für = T :
Te
Damit können aus den Gleichungen (4.2.5), (4.2.15),
(4.2.17) und (4.2.18) die Werte von Ris
berechnet werden, wobei eine der vier Größen frei
wahlbar bleibt.
Roy m, K
4.2.3. Übergang auf Vierquadrantenbetrieb
Wie das Blockschaltbild, Bild 4.2.6, erkennen läßt,
ist die beschriebene Rechenschaltung in etwas abge-
änderter und erweiterter Form auch zur Berechnung des
Polarwinkels $ in allen vier Winkelquadranten geeignet.
Abweichend vom Grundprinzip wird jetzt für die Bildung
der Ersatzfunktion f (p) nicht mehr die Größe y, son-
dern ihr Absolutwert |y| herangezogen:
£ (y) = — (4.2.19)
ze fl
Dadurch wird erreicht, daß am Divisoreingang der
Dividiererstufe nur positive Spannungen auftreten.
Somit benötigt man für die Quotientenbildung keinen
Vierquadranten-Dividierer mehr, sondern kommt mit
einem wesentlich billigeren handelsüblichen Zwei-
quadranten-Dividierer aus.
Das Ausgangssignal des Dividierers läuft wieder durch
eine Korrekturstufe, wird hier linearisiert und hierauf
von einer konstanten Größe subtrahiert.
In der nachfolgenden Schaltstufe wird der Übergang von
Vierquadrantenbetrieb auf Zweiquadrantenbetrieb,
welcher vor der Dividiererstufe durchgeführt wurde,
wieder rückgängig gemacht. Damit ist erreicht, daß
die Ausgangsspannung nicht nur ihren Wert linear mit
dem Polarwinkel ändert, sondern daß auch das Vor-
zeichen von $ berücksichtigt wird.
Vektor - Betrag Dividierer Linearisierung
x x
im tte U2
y x? +y? a x Ev)
Y vi} re ly! Uy
Absolutwert Subtrahierer Schaltstufe
- lyl
sign y |
1 — f.(). gp)
sign y{i-flp).gly)]
i
sign y
Bild 4.2.6: Blockschaltbild des Koordinatenwandlers
fir Vierquadrantenbetrieb
Zum besseren Verständnis der Arbeitsweise des Koordi-
na