Schwingungsberechnung eines Zwei-Massen-Systems
EN
<> DATENVERARBEITUNG
Ic
BZm
Schwingungsberechnung eines
Zwei-Massen-Systems
1
. Von dem Zwei-Massen- System nach Bild 1 sollen die Auslenkun-
Fragestellung
gen y,(t) und yo(t) bei sprungförmiger Störung y3(t) ermittelt wer-
den. Die Feder- und Dämpferkennlinien sind in Bild 2 dargestellt.
d .
az 1 my: m, : Massen
SE Cy : Federkonstanten
qd, : Dampfungskonstante
m2 Yo
2
¥3
Bild 1 Zwei-Massen-System
Fall a Fall b Fall c
% Yı-Ya} d, (¥4-¥9) d, (Yı-Y2)
Yı-V2
Dämpferkennlinien, Dämpferkraft über Geschwindigkeit
fq (v2-v3) © (va-y3) Cy (Ya- Ya)
—
Ya=Y3 Ya-¥3
Federkennlinien, Federkraft tiber Auslenkung
Bild 2. Feder- und Dämpferkennlinien
2.
Gleichungen
3.
Konstanten
4,
Normierung
2
d d d €
dt m, dt dt m, 1 2
d’y d dy dy c
2,01 2 1 1 ©
tn a at Wa ¥) t+ Wy, - 4) = 0 (2)
at? m, dt dt m, 2 1 m, 2 3
m, = 20 kps’m"!
2 _ -1
m, = 2kps m Fall a,b,c
©, = 500 kpm” |
d, = 80 kpsm” | Fall a
80 kpsm fiir Yi7 Yo 70
8 kpsm” ! für y,- ¥, <0
1
c = 2000 kpm™ Fall a,b
20 (y,-y,) kp für y.-y, >-0,37 cm
2°3 2°3
Co(¥5-¥q) = Fallc
-20 - 0,37 kp für Yo"V3 <-0,37 cm
(t) 0 cm flirt <0
¥3 = «as
6,5 cm für t20
Anfangsbedingungen y, (0) = y,(0) =0
Geschätzte Maximalwerte Yimax ” Yomax ” Yamax Ih” 10 cm ®
Die Spannungen u, des Analogrechners werden üblicherweise auf
die maximale Rechenspannung E normiert
Up ok <
= - 1
E
und die Maschinenzeit t* wird ersetzt durch eine dimensionslose
Variable tT gemäß
T = kt* k{s"!
J. (3)
Die Problemgrößen werden in entsprechender Weise behandelt:
Die abhängigen Variablen und ihre Ableitungen werden durch
Normierung auf den Variationsbereich von -1 bis +1 gebracht,
den die analogen normierten Spannungen besitzen. Die unab-
hängige Variable, z.B, die Zeitt, wird nach
® T=it ls (4)
durch die dimensionslose Größe T ersetzt. Durch Gleichsetzen
der normierten Problemvariablen mit den zugeordneten normier-
ten Spannungen, ferner durch Gleichsetzen von T mit +t werden
die normierten Problemgleichungen zu Maschinengleichungen,
die sich unmittelbar in eine Rechenschaltung umsetzen lassen.
4.1. Da die Anfangswerte der Amplituden Null sind, normieren wir
Amplitudennormierung die Amplituden selbst auf ihre Maximalwerte: Y, = _ mit
m
i=1,2,3. Die dimensionslosen Größen Y; variieren im Bereich
von -1 bis +1.
4.2. Durch den Maßstabsfaktor X in der problemseitigen Zeitnormierung
Zeitnormierung (4) können die Koeffizienten der Maschinengleichung auf einstell-
bare Werte gebracht werden. Die Maschinengleichungen lassen
® sich, entsprechend der maschinenseitigen Zeitnormierung (3),
durch Variieren der Integrationsgeschwindigkeit des Analogrech-
ners auf verschiedene Weise realisieren. Die Integrationsge-
schwindigkeit k wird beeinflußt von
a) einer für alle Integrierereingänge der Schaltung gemeinsamen
Eingangsbewertung c,
ß) dem Integrationsfaktor Ko [Is ty der durch die Kapazität der
Integrationskondensatoren festgelegt wird. Der Zusammen-
hang zwischen Problemzeit t und Maschinenzeit t* ergibt sich
aus (3) und (4) zu
= x = A
§ > 1 Zeitdehnung
% = 1 Echtzeit (Identität der Zeiten)
§ < 1 Zeitraffung
® 5. Mit der Amplituden- und Zeitnormierung und den Abkürzungen
Maschinengleichungen ay dev Mi
7. Y; 2° Y ergeben sich die Maschinengleichungen:
T dr
" do qd, “1
tm a M17 %2) * m (7 ¥_) 0
" d, d, cy
+ — 7. ¥? - +
Yo* mor a. 2° Y) t me Ya
2 fe) 2 (7)
©, Co
I © o (%2 7 3) = 9
In den Fällen b, c ist die Dämpferkennlinie, im Fall c die Feder-
kennlinie nichtlinear. Die Koeffizienten der Differentialgleichun-
gen (6), (7) sind daher in die konstanten Anteile
o ‚0,00 . I
xy > d =const , c_= const
m‘ moh moh fe) fe)
1 2 2
und die von dem Vorzeichen von (Y’ - Y}) bzw. (Y, - Y_) abhängigen
. 1 2 2 3
Anteile
ser“ c
o. o
unterteilt worden, Die konstanten Anteile werden in der Schaltung
durch Potentiometer eingestellt, die nichtlineare Dämpfer- bzw.
Federkraft
d c
1 v-v), ir
a 1 2 - Y,)
[6} oO
2 3
wird durch die nichtlinearen Schaltungen (Bild 4, 5) nachgebildet. Wenn .
die Größen d,, cg den Werten von dj, fo gleichgesetzt werden, die für %
die linearen Kennlinien gelten:
do = 80 kpsm™! Co = 2000 kpm”! ,
so erhalten die Koeffizienten der Differentialgleichungen (6), (7) fol-
gende Werte:
NS
foo a fo, 40
m‘ A moh x
“4 025 al _ 250 8)
mre ° 2 ma RT N
“o _ 1000
mr“ 12
2 7
Damit die Koeffizienten mit Hilfe von Potentiometern und Eingangs-
bewertungen einstellbar werden, wird c = 1 und, = 10 s71 gewählt. ®
Die Gleichungen (6), (7) erhalten dann die Form:
y, + 0,4 = (YY - Y,) +0,25 (Y, - Y,) =0 (9)
" q, , ,
Yo+ aan N, Yi) + 2,5(Y,- ¥,)+
10 “2 yy.) =0 (10)
cy 2 3
d, N
ru =] Falla
o
BE ett)
2 - 2 es ’ - ° 3 0
d, Y, Y ftir Y, Y, >
Fu vw - Y,) = ‘Fall b,e
(6) 2 as ’ 2
0,1 (Yy - Y,) für Y - Y <0
“2
_ =] Fall a,b
c
fe)
Y.-Y für Y Y, >- 0,037 ae
Cy 2 3 2 3 ’ )
— (Y,- Y,)= Fall c
02 - 0,037 für Y, - Y,<- 0,037
Der Zeitmaßstabsfaktor hat den Wert @= ı/k = 10/k,. Der Vor-
gang läuft bei Wahl des Integrationsfaktors k, = 1 s~/ in 10-
facher Zeitdehnung, bei Wahl von k, = 10 s"l in Echtzeit, bei
Wahl von ko = 100 s~! in 10-facher Zeitraffung ab.
6.
(\_
Rechenschaltung (1)
0,25
Y, ko _y:
—
1
für den Fall a
an
lytuys
x, | A Wane 1
0,4 i !
Po _ für den Fall aund b
k Ko
I +v5 al
5 1
m 70 |
|
yo
? |
|
Bild 3 Rechenschaltung für das System nach Bild 1
Cc
=¥3 7
Ya 3
+1
Bild 4 Schaltungsteil 1 für Fallb,c Bild 5 Schaltungsteil 2 fir Fall c
In der Betriebsart "Pause" hat der Ausgang von Summierer 7
eine normierte Spannung von X, = - Ya. Beim Schalten auf "Rech-
nen'' wird diese Spannung über einen Eingangswiderstand an den
Summierpunkt des Integrierers 5 gelegt. Dadurch wird eine am
Eingang von Verstärker 5 wirksame Sprungfunktion erzeugt, Im
Fallb und Fall c ist der in der Rechenschaltung (Bild 3) ge-
strichelt umrahmte Teil 1 durch den Schaltungsteil 1 aus Bild 4
ersetzen. Das Potentiometer zwischen Verstärkerausgang und
demsBezugsspannung +1 dient zur Kompensation der Diodenan-
laufspannung. € wird so eingestellt, daß der Knickpunkt der
Dampferkennlinie in den Nullpunkt fällt (Bild 2). Zwischen Aus-
gang X, und Eingang Y - Y, besteht die Beziehung:
=. 2 - + <n 7 - 3 >
x, w Y,) für vy Y, 0 (13)
(Rückführung über Diode unterbrochen)
Yi - Y.
- 1 2 any? , (14)
X, °° TF a0 für Y', -Y¥', <0
(Rückführung über Diode wirksam)
Aus der Dämpferkennlinie (11) und der Formel (14) ergibt sich
a = 0,45. Da die Diode nicht, wie Formel (14) voraussetzt, ideal
arbeitet, hat a einen abweichenden Wert, der durch Ausmessen
der Kennlinie einzustellen ist. Dabei zeigt sich, daß nur ein Ein-
gang der Bewertung 10 mit dem theoretischen Faktor a = 0,9
nicht ausreicht, um die vorgeschriebene Steigung der Kennlinie
zu erzeugen.
Im Fall cist der gestrichelt umrahmte Teil 2 in Bild 3 durch den
Schaltungsteil 2 aus Bild 5 zu ersetzen. In der Schaltung leitet die
Diode, sobald die Ausgangsspannung des Verstärkers Xp einen
durch den Koeffizienten 8 einstellbaren negativen Wert -B zu
überschreiten versucht. Es gilt der Zusammenhang:
_ _ os x _B
x, Y, Y, für Y, Y, > (15)
(Rückführung über Diode unterbrochen)
= -B oe. _ -
x fiir Y, Ys <-B (16)
(Rückführung über Diode wirksam)
Der Wert B = 0,037 (vgl. (12)) wird an Hand der Kennlinie am
Potentiometer eingesiellt.
® 7. Tab. list die zur Schaltungder Bilder 3 bis 5 gehörende Potentio-
Potentiometer- meterliste. In der Spalte 1 stehen die Nummern der Potentio-
liste meter, wie sie in der Schaltung eingezeichnet sind. In der Spalte
2 sind die Koeffizienten der Problemgleichungen (1) und (2) auf-
geführt, die in ihrer normierten Form (Spalte 3) einzustellen
sind. Die Spalte 4 enthält die Zahlenwerte der normierten
Koeffizienten für den Zeitmaßstabsfaktor X = 10 s-! und den
Maximalwert ym = 10 cm. Wenn das Potentiometer nicht zu
einem Eingang der Bewertung 1 führt, ist die Eingangsbewertung
als Faktor herausgezogen.
Tab. 1 Potentiometerliste
Pot. Koeffizient normierter Zahlenwerte
Nr. © en Koeffizient A =10 8” 1
Ym = 10 cm
1 “1 I, 0,25
m mA ”
1 1
sl “1
1 nn mız . 0,25-10
2 2
d d
2 —_l OU 0,4
m mA
1 1
d d
2) a m 0,4-10
2 2
y
73
3 Yg Y, y 0,65
m
® 4 Kompensation € = 0,05
Diodenanlauf-
spannung
5 Steigung do/d,-1
Kennlinie BE — ~ 0, 46
20
6 Begrenzung „_B
a | 085 |
8 Die zeitlichen Verläufe der Auslenkungen Y, (t*) und Yo (t*)
Ergebnisse sind für die Falle a, b, c in den Bildern 6 bis 12 festgehalten.
Im Fall b übersteuert der Verstärker 5. Der Sprung von Y3
von 0 auf 0,65 ist hier zu stark. Die Amplitudennormierung
auf yy, = 10 cm der Fälle a, bist zu Ändern und so zu wählen,
daß der Verstärker nicht mehr übersteuert.
Y3
A
0 —
Bild6 Störfunktion
Y2 q
T .
0 . _ —ek
Bild 7 Auslenkung der Masse m,, Fall a
Yı
Lu .
0 —
Bild8 Auslenkung der Masse m ‚Fall a
%
0 —
Bild 9 Auslenkung der Masse m,, Fall b
Y
1
0 —
Bild 10
Auslenkung der Masse m ‚Fall b
‘2
T .
0 ek
Bild 11 Auslenkung der Masse m.,Fall c
yy
T .
0 —
Bild 12 Auslenkung der Masse m ‚Fall c
Literatur:
[1] Szabo, Einführung in die Technische Mechanik,
Springer-Verlag 1961
[2] Giloi W., Herschel R., Rechenanleitung für
Analogrechner, TELEFUNKEN- Fachbuch