Anwendung der Braunschen Röhre für die Auflösung von Differentialgleichungen auf elektrischem Wege
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Archiv fiir
K l e i n w g c h t e r , Amvendung der Braunschen R6hre.
Elektrotechnik.
Die durch stufenweise Beschleunigung erreichbare Gesamtspannung liegt in der Gr6f3enordnung yon 100 kV. Die Ablenkplatten sind vor der Hauptabbildungsoptik direkt
auf der Blende angebracht; die Ablenkung erfolgt also vor der elektronenoptischen
Hauptlinse. I)er Leuchtschirmdurchmesser betrggt 250 ram. Bei niedrigen Spannungen an der Blende erreieht die Ablenkempfindlichkeit den hohen Wert yon
1 mm/V (bei 4:5 kV Gesamtspannung). Aus aufgenommenen Oszillogrammen wird
die Schreibgesehwindigkeit berechnet und gezeigt, dab die maximale photographisch
registrierbare Schreibgeschwindigkeit in der Gr6fienordnung yon 1000 km/s liegt.
Dieser bisher yon Braunschen Oszillographenr0hren nicht erreichte Weft lgl3t das
angewendete Prinzip auch als for Einstrahlr0hr'en zweckm~fiig erscheinen.
Die Untersuchungen wurden in der Zeit yon November 1935 bis Mgrz 1937
im Laboratorium ftir Vakuumr/3hrenteehnik der T. H. Berlin durchgefiihrt. Ffir die
stetige FOrderung bin ich dem Leiter des Laboratoriums, H e r r n Dr.-Ing. M. K n o l l ,
zu Dank verpflichtet, gbenfalls danke ieh der Deutsehen Forsehungsgemeinsehaft
fiir die ErmOgliehung der Versuche.
Anwendung der Braunschen ROhre fiir die AuflOsung
von Differentialgleichungen auf elektrischem Wege.
Von
Hans Kleinw~ichter, Reichenberg/Sudetenland.
(Bericht aus dem Gewerbefarderungsinseitut in Reichenberg.)
(Eingegangen am 2. 7. 1938.)
D K 6 2 I . 3 8 5 . 8 3 2 : 5 I8. 5
0bersicht. Es wird versucht, die Eigenschaften einer Selbstinduktionsspule, bei der (tie angelegte
Spannung der Differentialquotient des Stromes nach der Zeit ist, zur AuflSsung yon Differentialgleichungen zu belmtzen. Zu jeder Differentialgleichung gehSrt eine bestimmte Schaltung. fimderungen der GrSl3e der einzelnen Schaltungselemente entsprechen Anderungen der Parameter der
zugeh0rigen Differentialgleichung.
Eine grol3e Anzahl ~iut3erst einfaeh aufgebauter Differentialgleichungen hat
keine elementaren Funktionen als LOsungen. Man muB daher entweder zu einem
reehnerisehen NSherungs- oder einem graphisehen Verfahren greifen. Ersteres bereitet einesteils oft Konvergenzsehwierigkeiten, andernteils hSmgt der Weg, den man
zur Aufl0sung einsehlS~gt, yon der Gr013c der P a r a m e t e r der I)ifferentialgleichung
ab. Das graphisehe Verfahren besehrSmkt sieh auf Differentialgleichungcn erster
bzw. zweiter Ordnung unter Zuhilfenahme der Kriimmungskreise. Irt beiden F / l l e n
bekommen wir eine Einzcll6sung, die yon den jeweiligen Anfangsbedingungen abhSmgt.
Es sei daher hier ein Verfahren gesehildert, welches es gestattet, dureh einfache
Verstellung ciner A p p a r a t u r die LOsung bestimmter Differentialgleichungen ftir beliebige Anfangsbedingungen und auch P a r a m e t e r augenblicklich auf dem Leuchtschirm einer Braunschen R0hre erscheinen zu lassen.
Dieses Verfahren besteht in der Anwendung einer elektrischen Schaltung, deren
Einzelteile in jedem Augenblick elektrisch so zusammenwirken, wie es der durch
die gegebene Differentialgleichung bedingte Zusammenhang der abhgngigen Ver~inderlichen mit der zweiten, unabhingigen (der Zeit) und den Differentialquotienten
X X X I I I . Band.
Heft2--1939.
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K l e i n w ~ c h t e r , Anwendung der Braunschen R6hre.
fordert. I)er kennzeichnende Bestandteil dieser Vorrichtung ist eine besonders gebaute Braunsche R6hre I mit eindimensionaler Ablenkung u n d einem Widerstands:stabe, der den senkrecht zu ihm gerichteten Elektronenstrahl auff~ingt. Ein Ende
dieses Stabes ist fiber eine Vorspannung geerdet, so dab sich das andere Ende, dank
der kleinen Kapazit~it, die der Stab besitzt, augenblieklich auf ein Potential v1 aufl~dt, welches dem Ohmschen Spannungsabfall und somit der Gr6fie y entspricht.
y stetlt die gcsuchte, yon der Zeit abh~ingige Ver~nderliche dar (Bild 1).
Um auch die Gr6Ben y', y" usw. elektrisch darzustellen, l~it3t man das v1 auf
das Gitter einer im geradlinigen Teil der Kennlinie arbeitenden Schirmgitterr6hre II
lI
wirken, in deren Anodenkreis sich eine Selbstinduk_I
vl / ~
~ia
tion L befindet. Die sieh an L ausbildende Selbstinduktionsspannung v 2 ist der zeitlichen Ableitung des
Anodenstromes und somit y' proportional. Ffir die Darstellung h6herer Differentialquotienten I/it3t man v2
= 7 y - - - 4 ,~
wiederum auf d a s Gitter einer weiteren R6hre wirken
I---
USW.
Ffir die LOsung e i n e r linearen Differentialgleiehung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten
yon der Form:
Bild 1. Sehaltungsschema ffir
die DifferentiMgleichung
y'+ay =b
ay'+by--c.
ergibt sich das Schaltschema Bild 1. Die Spannungen v1 und v 2 werden an die Ablenkplatten der H a u p t r 6 h r e I gelegt. Dadurch ist die augenblickliche GrOl3e y mit
dem Werte yon y' nach folgender Rechnung verknfipft:
vl Spannung am Ende des Widerstandstabes,
y Ausschlag des Elektronenstrahls aus der Nullage,
Yo Lfinge des Stabes bis zum Nullpunkt,
Strahlstrom,
Widerstand des Stabes je Zentimeter,
vl 0 Vorspannung des Stabes,
,a Anodenstrom der Rbhre II,
S Steilheit der R6hre II,
ia0 Anodenstrom bei Gitterspannung 0,
vz Spannung an der Selbstinduktion L,
A Ausschlag des Elektronenstrahls bei 1 V Ablenkspannung,
v20 Vorspannung der Selbstinduktionsspule L.
vl=Vlo--(y+yo)~i,
i~=Svl+i~o
v2 -= - - L ddti~ =[,= - v 2 ~ = v 2 ~
( ~ ) y = / t (v~ +v2) = - - y A e i + A (vlo-- yoei) - - A L S
1--Aoi
yo~i--vlo--V~o
Y'+Y ALSQi
LSoi
b
y' + y a = - b ' " y = a
+Ote-t/~.
~i y' + ~tV2o ,
Die Gr6fie der P a r a m e t e r a und b bestimmt sich naeh obenstehender Rechnung
aus den elektrischen Daten der Gerfite; die P a r a m e t e r lassen Sich somit verS~ndern.
Die Anfangsbedingung ist durch den ursprfinglich vorhandenen Aussehlag Yo des
Kathodenstrahls bedingt, der durch eine Hilfsspannung erzeugt wird, die man im
Augenblieke t--~ 0 abschaltet.
Daft dieser Ausschlag Yo dem Anfangswert der darauffolgenden stetigen Strahlbewegung gleieht, sieht man daraus, dab die fimderung yon y im ersten Zeitelement
nicht endlich sein darf, da dies einem unendlich grofien y' und somit einem unendlieh grofien v~ entsprechen mtifite.
Ffir Differentialgleichungen n-ter Ordnung ergibt sieh nach derselben 15berlegung
die Anfangsbedingung :
Y=Yo, Yo=0,
y;'=0,.--y~o"-l)=0.
Archiv f. Elektroteehnik. X X X I I I . Band. 2. Heft.
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iKleinw~chter,
Archiv ft~r
Elektr~technik,
Anwendung der Braunschen R6hre.
Um Differentialgleichungen zu 16sen, in denen das Produkt zweier Ver~inderlicher vorkommt, braucht man ein GerS~t, welches diese Multiplikation ausffihrt.
Die obengeschilderte Braunsche ROhre erweist sich als geeignet, wenn man die eine
der VerS.nderlichen (t, y, y', 3 " ' , ' " Y(")) an den Wehnelt-Zylinder und die andere
an das Ablenksystem legt. Die S p a n n u n g , a m Ende des Auffangstabes i R ist dann
dem Produkte aus den beiden Steuerspannungen proportional (Bild 2). Durch Wiederholung dieser Schaltung kann man auch hOhere Potenzen erzielen.
lI
llI
Beispiel:
ay"+byt+cy4-dt+e=O...
(Bild 2).
y = A1 (v4+ v3)
7)1 = i l 01 (Y@ JO) -t-7)10
v~ = S 2 L a i 1 91 Y' + vz0
va = Se Sa L2 La il 01 Y" -~- Vao
v4 = A4 vl 94 i4 @ Y4o 94 i4 + v4
i4 = i 4 ~ 1 7 6
7)c
C " t.
a = A 1S 2S 3L 2L 3i 101,
Vc
vc"-~k,,~_ 1
die Differentialgleichung
a x " + -b~v-' x + c
T
y '+ y - -d.
--e
b = A 1A 4 9 4 i 1 9 1 S 4 R c ,
c = A i A 4 E1 04 i l i40 - - 1
e = ;Jl [-//4 04 (il 01 YO i40 ~- vl 0 i4 o) -t- 7)40 -~ 7)30 -~ Y40 04 i4 o]-
Schlic.l.~lich sci noch erwS~hnt, dab sich auch Differentialgleichungen mit Gliedern
yon der Form
~-(~t:7"-U'-2)~ bzw. qJ(t, y, y ' . . . y("') darstellen lassen, indem man die
~/~; (t, y, y'... y'-~)
v (t, y. y ' . . . r
Anodenspannung der entsprechenden Braunschen R6hre proportional ~p (t, y, y", .... y('))
macht, da der Ausschlag des Kathodenstrahls dcr Wurzel aus der Anodenspannung
umgekehrt proportional ist.
In Mien FS.11en ist der HauptrOhre I noch eine AbbildungsrOhre parallel geschaltet, welche die Steuerspannungen yon I fibernimmt; auf ihrem Leuchtschirm
zeigt die Abbildungsr6hre die Losung y in Funktion der Zcit.
Zusammenfassung.
Es wird gezeigt, daft die Methode es m6glich macht, Einzell6sungen yon
Differentialgleichungen h6herer Ordnung und auch Grades auf dem Schirm einer
Braunschen ROhre'erscheinen zu lassen. Es wurden dabei nut rein elektrische
Apparate angewendet, was eine selbstauferlegte Einschrgnkung bedeutet. Als Beispiele
werden die Schaltungsschemen ffir die Differentialgleichung a y ' + b y = c und
a y" + b y'x +. c y' + d y = e gezeigt, und Wege ftir kompliziertere F~lle angedeutet.