Zur numerischen Lösung von Randwertaufgaben des eingeschränkten Dreikörperproblems
Anlagen
Informationstechnik
Sonderdruck
Luftfahrttechnik
Raumfahrttechnik 14 (1968)
9, Seite 220—221
DK 521.13:517.946.9:518.61
Kurt Nixdorff, Helmut Altmann*)
Zur numerischen Lösung von Randwertaufgaben
des eingeschränkten Dreikörperproblems
Übersicht: Untersucht wurde eine Randwertaufgabe des eingeschränkten Drei-
körperproblems. Die mit einem Analogrechner ermittelten Bahnen zeigen, daß die
betrachtete Randwertaufgabe zwei Lösungen hat. Es gibt auf jeder Seite der Flugbahn
mit der kürzesten Flugzeit eine Bahn, in der der Flugkörper in einer vorgeschrie-
benen Zeit von dem vorgegebenen Ausgangsort zum vorgegebenen Zielort gelangt.
1. Das eingeschränkte Dreikörperproblem
Das eingeschränkte Dreikörperproblem
gilt seit langem als eine der reizvollsten
Aufgaben der Mechanik; denn dieses Pro-
blem ist eine sehr einfach formulierbare,
nichtlineare Aufgabe, für die keine ge-
schlossene Lösung existiert und für die
numerische Lösungen nur mit großem
Aufwand ermittelt werden konnten, wie
z. B. die Untersuchungen von E. Ström-
gren und Mitarbeiter [1] zeigen. Bei dem
eingeschränkten Dreikörperproblem han-
delt es sich um folgende Aufgabe:
Zwei Körper A und B laufen infolge ihrer
wechselseitigen Gravitationsanziehung
auf Kreisbahnen um ihren gemeinsamen
Massenmittelpunkt. Ein dritter Körper C,
der sogenannte infinitesimale Körper,
z. B. ein Satellit oder ein Planetoid, möge
sich mit A und B in einer Ebene bewegen.
Seine Masse sei so klein, daß er zwar der
Gravitationsanziehung von A und B
unterliegt, aber selbst deren Bahnen
nicht zu stören vermag. Gesucht ist die
Bewegung dieses dritten Körpers.
*) Die Verfasser danken Herrn Prof. Dr.-Ing.
H. Leipholz, Universität Karlsruhe, für die
Anregung zu dieser Untersuchung und der
Deutschen Forschungsgemeinschaft für die
finanzielle Unterstützung.
ASD 033 0968
Die Bewegungsgleichungen für dieses
Problem lassen sich leicht aufstellen und
sind in den meisten Lehrbüchern der
Mechanik zu finden (z. B. [2; 3]). @. W.
Hill untersuchte die durch das Jacobi-
sche Integral festgelegten Einschränkun-
gen der Bewegungsmöglichkeit des in-
finitesimalen Körpers bei vorgegebenen
Anfangsbedingungen und fand die nach
ihm benannten Grenzflächen, die der in-
finitesimale Körper nicht überschreiten
kann. Es gibt also Gebiete, die dem in-
finitesimalen Körper bei entsprechenden
Anfangsbedingungen nicht zugänglich
sind.
E. Strömgren und Mitarbeiter [1] be-
stimmten, ebenfalls für vorgegebene An-
fangsbedingungen, in jahrzehntelanger
Arbeit periodische Bahnen bei gleichen
Massen von A und B. Bei neueren Unter-
suchungen, z. B. von B. Thüring [4] so-
wie von #. Stiefel und Mitarbeitern [5],
benutzte man elektronische Digitalrech-
ner zum Bestimmen der Bahnen des in-
finitesimalen Körpers bei vorgegebenen
Anfangsbedingungen.
Durch die Veröffentlichung von RP. Stiefel
und Mitarbeitern [5] wurden die Verfasser
angeregt zu untersuchen, ob sich nicht
mit einfachen Mitteln ein Überblick über
die Lösung bei vorgegebenen Rand-
bedingungen ermitteln ließe. Dabei sei
als Randbedingungen willkürlich der Ort
des infinitesimalen Körpers zu zwei Zeit-
punkten vorgegeben und die dazwischen
durchlaufene Bahn gesucht.
Für die numerische Rechnung wurden
kartesische Relativkoordinaten x und y
verwendet. Das Koordinatensystem sei
so gewählt, daß in ihm die Körper A und
B feste Plätze erhalten und der gemein-
same Massenmittelpunkt von A und B
mit dem Ursprung des Koordinaten-
systems zusammenfällt. Der Körper A
möge die größere Masse haben und auf
der negativen x-Achse liegen. Um die Auf-
gabe auf praktische Belange auszurichten,
wurde angenommen, die infinitesimale
Masse C sei etwa ein Satellit, der sich im
Schwerefeld von Erde (Körper A) und
Mond (Körper B) bewegt, zur Zeit t = 0
die Koordinaten x = 2-105 km, y = 0
und zur Zeit t = 3- 105s die Koordinaten
x= —1,5:105 km, y = 2,5-105 km
habe. Die Masse des infinitesimalen Kör-
pers geht in die Rechnung nicht ein.
2. Die Bewegungsgleichungen
Die Bewegungsgleichungen lauten (vgl.
z.B. [2; 3])
x+a
r3 es
z—2wy—wxt+ya
x
—b
+yB 3 i | Re RSA (1)
y+2ox—oty + ya
Y
VP 9
1 ee |
=1 0 7 2 3 km 4.105
Koordinate z
Bild 1. Bahn mit den Anfangs-Geschwindigkeits-
komponenten Xo = —0,745 km/s und Yo = 1,105
km/s in x- bzw. y-Richtung.
&
genetisch und läßt sich daher als Varia-
tionsaufgabe schreiben [6]. Insbesondere
besteht hier die Möglichkeit, eine dem
Brachistochronenproblem analoge Auf-
gabe anzugeben, d. h. nach der Kurve
kürzester Flugzeit zu fragen, die von dem
vorgegebenen Anfangspunkt zu
ee apie} & Cie 8 , dem vorgegebenen Endpunkt
-3 7 2 3 45 führt. Die Bedingung für die Bahn
Koordinate x mit kiirzester Flugzeit lautet
Io gt ge
Der ° Ph + oat +++)
Bild 2. Bahn mit den Anfangs-Geschwindigkeits- eae,
k t = -1,005 k d yo = — 1,95 :
ewe Me gee m/s und Yo SCSI MNOS, 2 son nee (6).
Bilder 1 und 2. Bahnen des infinitesimalen Flugkörpers bei gegebenen Randbedingungen im
x,y-Relativkoordi y
ichah
AundB auf Kr ı um den gi
punkt umlaufende Himmelskörper; C, und
Cz Orte des Infinitesimalkörpers C zu zwei vorgegebenen ee a und b in Pfeilrichtung durch-
laufende Bahn des Infinitesimalkörpers.
mit = und y als den laufenden Orts-
koordinaten des Satelliten, r als seinem
Abstand von der Erde A, s als seinem
Abstand vom Mond B, « als der Masse
und (—a, 0) als den Ortskoordinaten von A,
ß als der Masse und (b, 0) als den Orts-
koordinaten von B, y als der Gravitations-
konstante und @ als der Winkelgeschwin-
digkeit des rotierenden Koordinaten-
systems (A und B haben feste Orts-
koordinaten). Punkte über x und y be-
deuten Ableitungen nach der Zeit t. Die
Winkelgeschwindigkeit ® läßt sich aus
y, a, B und dem Abstand 1 = a + b zwi-
schen A und B zu
bestimmen. Für a und 6 gilt, da der
Koordinatenursprung Massenmittelpunkt
ist,
a Mamie ene (4)
&
neg 57 Baise aia (5).
Als Randbedingungen wurden gewählt:
x(t = 0) = 2: 105 km,
y (t = 0) = 0,
a(t =3-105s) = —1,5-105km,
y (t = 3- 105s) = 2,5 : 10° km.
3. Ergebnisse
Es bestand die Absicht, fiir die numeri-
schen Rechnungen eine elektronische
Rechenanlage zu benutzen. Da es sich bei
den Bewegungsgleichungen des einge-
schränkten Dreikörperproblems um nicht-
lineare, gewöhnliche Differentialgleichun-
gen handelt und nur ein Überblick ge-
sucht war, fiel die Wahl auf einen Analog-
rechner. Der Tischanalogrechner RA 741
der Firma AEG-Telefunken erwies sich
bezüglich der Einsatzmöglichkeiten und
der Genauigkeit als ausreichend.
Beim Analogrechner lassen sich Para-
meter besonders leicht ändern. Deshalb
wurde durch Variation der Anfangs-
geschwindigkeit des infinitesimalen Kör-
pers untersucht, ob die vorstehend for-
mulierte Randwertaufgabe mehrere Lö-
sungen hat. Es wurden zwei Lösungen
entsprechend den in Bild J und 2 dar-
gestellten Bahnen gefunden. Die in Ab-
schnitt 2 formulierte Randwertaufgabe
hat also keine eindeutige Lösung. Dies
überrascht zunächst, ist aber physikalisch
verständlich, wie im folgenden erläutert
wird. Die gestellte Aufgabe ist mono-
In Gl. (6) bedeuten to die kürzeste Flug-
zeit und h die Konstante des für das
betrachtete System gültigen Jacobischen
Integrals. Die vorgegebene Flugzeit ist
etwas länger als die so gefundene kür-
zeste Flugzeit. Offensichtlich muß es
dann bei der untersuchten Aufgabe zwei
Bahnen geben, auf jeder Seite der mit
der kürzesten Flugzeit durchlaufenen
Bahn je eine, die mit der vorgegebenen
Flugzeit durchlaufen werden. 732
Schrifttum
[1] Grammel, R.: Strömgrens Arbeiten zum Drei-
körperproblem. Vierteljahresschrift der Astro-
nom. Ges. 64 (1929), S. 90/100.
[2] Whittaker, E. T.: A Treatise on the Analytical
Dynamies of Particles and Rigid Bodies. Cam-
bridge 1964. Cambridge University Press.
S. 353/55.
[3] Pars, E. A.: A Treatise on Analytical Dynamics.
London 1965. Heinemann. S. 562/72.
[4] Thüring, B.: Bahnberechnung mit elektroni-
schen Rechenmaschinen. Handbuch der Astro-
nautik 1 (1962/63) Nr. 12, S. 379/84 und Nr. 13,
S. 385/406.
[5] Stiefel, E., u. a.: Report to NASA on Methods
of Regularization for Computer Orbits in Ce-
lestial Mechanics. Zürich 1966. Von den Ver-
fassern selbst verlegter Bericht.
[6] Nixdorf, K.: Beiträge zur Mathematischen
Behandlung und Physikalischen Deutung der
Eigenwertaufgaben der Mechanik unter be-
derer Berücksichtigung der Knickung ver-
wundener Stäbe. Diss. Universität Karlsruhe
1967.
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