Die Lösung und Darstellung von partiellen Differentialgleichungen auf dem elektronischen Analogrechner
Redaktion Dr. H. K. Schuff
unter Mitwirkung von
elektronische
Dr. Heinz Christen, Hamburg
datenverarbeitung
Dr. F. R. Güntsch, Konstanz
Prof. Dr. W. Haack, Berlin
Prof. Dr. H. Herrmann, Braunschweig
Fachberichte über
programmgesteuerte Maschinen und ihre Anwendung
N. D. Hill, Hayes/England
Dr. Franz J. P. Leitz, Ludwigshafen/Rh.
Dr. E. Liebel, Redenfelden/Obb.
Prof. Dr. A. van Wijngaarden,
Amsterdam
Heft 5/1962
Die Lösung partieller Differentialgieichungen und ihre
Darstellungsmöglichkeiten auf dem elektronischen Analogrechner
Mit 33 Bildern W. Ameling, Aachen
Zusammenfassung: Nach einer kurzen Übersicht über den elektronischen Analogrechner und die angewandte Program -
mierung werden die verschiedenen Lösungsverfahren und Methoden zur Lösung partieller Differentialgleichungen mit dem
elektronischen Analogrechner behandelt. Neben den angegebenen Fehlerabschätzungsmeihoden werden verschiedene Darstellungs -
möglichkeiten der Lösungsfunktionen betrachtet und einige bisher unbekannte Möglichkeiten angegeben.
Summary: After a short summary about the electronic analog computer and the necessary programming the different solution
procedures and methode of solution for partial differential equations on the electronic analog computer are treated. Besides the
given methods for error estimation different possibilities for interpreting the solutions are considered and some previously
Ahnen HAMDEN
unknown possibilities are mentioned.
1, EINLEITUNG
Während gewöhnliche Differentialgleichungen nur eine ein-
zige unabhängige Veränderliche enthalten, sind in partiellen
Differentiaigleichungen mehrere, rnindestens zwei unabhän-
gige Veränderliche vorhanden, Partielle Differentialgleichun-
gen kommen deshalb bei all den physikalischen Problemen
vor, bei denen die betrachtete Größe nicht nur von der Zeit,
sondern auch noch vom jeweiligen Ort abhängt. Bei derarti-
gen Aufgaben, wie Wärmeleitung, Potentialbetrachtung
elektromagnetischer Felder, Schwingungsproblemen von
Saite, Balken oder Membrane, treten z.B. neben der Zeit-
größe t die Raumkoordinaten x, y, z (in kartesischen Koordi-
naten) oder r, $,Xin Kugelkoordinaten) als unabhängige
Veränderliche auf, Somit muß im allgemeinen mit vier unab-
hängigen Veränderlichen gerechnet werden; es sei denn, daß
gewisse zulässige Vereinfachungen eine Reduzierung der
Anzahl der unabhängigen Veränderlichen gestatten. Eihe par-
tielle Differentialgleichung kann Ableitung nach allen vor-
handenen unabhängigen Veränderlichen enthalten. Soll die
Lösungsfunktion U eine Funktion von x, y, z und t sein, so
versteht man unter der partiellen Ableitung nach irgendeiner
der Veränderlichen den Grenzwert des entsprechenden Diffe-
renzenquotienten, z.B,:
@U_ lim Um,y,z,1tA) -UR,y, 2)
t At=0 At
Bei der Ableitung nach t sind also x, y, z als konstant zu
betrachten.
Da bei elektronischen Analogrechnern nur die Zeit als unab-
hängige Veränderliche auftritt, lassen sich auf dem elektro-
nischen Analogrechner grundsätzlich nur Probleme mit einer
unabhängigen Veränderlichen lösen, Um den bisherigen Aus-
führungen elektronischer Analogrechner gerecht zu werden,
muß man also nach Verfahren suchen, die es gestatten, eine
partielle Differentialgleichung auf eine Anzahl gewöhnlicher
Differentialgleichungen zurückzuführen,
Den Ingenieur interessieren von den rein theoretischen Lösungs-
möglichkeiten linearer partieller Differentialgleichungen vor
allem die Anwendung der Laplace-Transformation, der
d’Alernbert'sche Ansatz und die Trennung der Veränderlichen
(Eigenwertproblem). Die Laplace-Transformation ist vor allem
dann mit Vorteil anzuwenden, wenn die Lösungsfunktion der
linearen partiellen Differentialgleichungen nur von zwei Ver-
änderlichen abhängt, Bei den Aufgaben des Ingenieurwesens
ist stets eine spezielle Lösung, d.h. eine Lösung in einem
bestimmten Gebiet, dem Grundgebiet gesucht. Für Probleme
mit mehr als zwei Veränderlichen wird das Gebiet entspre -
chend mehrdimensional, Zur Ermittlung einer eindeutigen
Lösungsfunktion einer partiellen Differentialgleichung müssen
außer der Angabe des Grundgebietes noch die auf der Beran-
dung des Grundgebietes zu erfilllenden Bedingungen angege-
ben werden, Vielfach wird eine Unterscheidung in Anfangs-
198
und Randbedingungen vorgenommen, Im folgenden wollen stabsfaktor. Die Notwendigkeit der Wahl eines Amplituden-
wir unter Anfangsbedingungen oder Anfangswerten stets die maßstabes ergibt sich aus der Tatsache, daß den abhängigen
Werte verstehen, die von allen in der Lösungsfunktion Veränderlichen des physikalischen oder mathematischen
auftretenden Raumkoordinaten innerhalb ihrer Variations- Problems beim elektronischen Analogrechner Spannungen
grenzen und der Zeitkoordinate für t= 0 abhängen. Randwerte gegen Erde zugeordnet werden, Maximal zulässige Spannungs-
sind solche Werte, die von allen vorhandenen Raumkoordina- werte sind im allgemeinen + 100 V (Sonderfälle + 200 V)
ten der Variationsgrenzen und der Zeitkoordinate für t>0 bei mit Elektronenröhren bestückten Rechenverstärkern und
abhängen. Im Grunde genommen sind Anfangswerte auch 2.2. t10 V bei mit Transistoren bestückten Rechenver-
Randwerte. Ihre gesonderte Bezeichnung nimmt lediglich stärkern. Zur Vermeidung von Verwechslungen zwischen
Bezug auf die besondere Bedeutung der Veränderlichen t bei zugeordneten Größen des Problems und der Rechenmaschine
technischen Problemen, werden wir gleiche Bezeichnungen beibehalten und den Ma-
schinengrößen nur ein Zusatzzeichen geben. Dieses Zusatz-
zeichen möge ein Querstrich über dem Symbol sein. Den
Proportionalitätsfaktor wollen wir mit kleinen griechischen
Buchstaben bezeichnen. Es soll gelten:
Da bei elektronischen Analogrechnern stets nur die Zeit als
unabhängige Veränderliche auftritt, könnte man annehmen,
daß der elektronische Analogrechner zur Lösung partieller
Differentialgleichungen nicht geeignet ist, Tatsächlich kommt
jedoch der Lösung partieller Differentialgleichungen mit dem
elektronischen Analogrechner eine immer steigende Bedeutung y= uf ‘¥
zu, In der vorliegenden Arbeit werden die fiir den elektroni- .
} oder allgemein
schen Analogrechner in Frage kommenden Methoden der Tren-
nung der Veränderlichen und die Umformung partieller Diffe- (a) a yo)
rentialgleichungen mittels Differenzenquotienten in ein n
System gewöhnlicher Differentialgleichungen betrachtet, Den
verschiedenen Lösungsverfahren wird kurz die angewandte Die Bestimmung des Proportionalitätsfaktors erfolgt ent-
Programmierung vorangestellt, Der letzte Abschnitt bringt sprechend [|
einige bisher unbekannte Darstellungsmöglichkeiten der Lö- a: 2 1
sungen partieller Differentialgleichungen. n |y® | max
2, DIE PROGRAMMIERUNG DES ELEKTRONI- Für die Integration gilt allgemein:
SCHEN ANALOGRECHNERS
x
. . + . n n+l n
Die Analyse eines vorgegebenen physikalischen Problems dy _ J d y dx + dy
gliedert sich in folgende Arbeitspunkte ; dx? a nti dx” (x= 0)
x
1. Aufstellen des Gleichungssystems,
2. Umformung der mathematischen Gleichungen durch Ein- Mit den angegebenen Transformationen
führen von Maßstabsfaktoren für Zeit und Amplitude in T
Maschinengleichungen, — & __
eens @ on EB / OD oy Ww
3. Herstellung der Rechenschaltung unter Verwendung der y= & +1 Mr y T (t = 0)
n 0
verschiedenen Symbole entsprechend den durchzuführen-
den Rechenoperationen,
Da sich laut Bild 2.1 für die Ausgangsspannung des Integrators
4. Bestimmung der Schaltelemente und der Größe der zuzu- die folgende Abhängigkeit von der Eingangsspannung ergibt:
führenden Spannungen.
Die Grundelemente des elektronischen Analogrechners sind r
Integrierer, Summierer, Potentiometer, Multiplizierer und a =" Ro edt TE
Funktionsgeneratoren, Im Bild 2,1 sind die Bezeichnungen
der verschiedenen Recheneinheiten, ihre Symbole, die ent- “TH
sprechenden Schaltungen und die mathematischen Formulie- erhalten wir - y° als Ausgangsspannung, falls die Eingangs-
rungen angegeben. Da die Maschinenzeit stets die unabhän- spannung yo ) ist
gige Veränderliche des Problems ist, soll für die Zeittransfor-
mation gelten:
1 x \
T=mr.t und 1, wot ke 2 |
bzw, Mr “+1 i
T = Mr "x u a
2 E=- yo ay
(r=0) 7 © Gxt (y= 9)
Hierin bedeuten: t die Maschinenzeit, t oder x die unabhän-
gigen Veränderlichen eines Problems und my der Zeitmaß- ist,
199
Bezeichnung Symbol Schaltung Mathematische Formulierung
Hochverstärkender (> e.=-Vee mit V >> 104
- Gleichspannungsverstärker eg &o ° &
K
Potentiometer e;| A eg =K-e; mit 0<K<1
otentio Os TER . i
Koeffizientenverstarker fi eof gi eu=-ke, mit 0<k >
= pS
. e =
R
Vorzeichenumkehrer ° u R ol
j eo
ej eo
Rn n
e ky En fr e--% k,e,
=]
Summierer e ke e fe Ry
e; fo | 7 mit 0<k =
hy ey vR
1 &o v
T
E ek fepdr+E
Einfacher Integrator k 0
ei Go e, (t=0)=E mit 0<k =o
T
n
e E eo--f L k,e,dr+E
Verallgemeinerter e oval
Integrator 2 e, .
ir ° e, (t= 0)=E mit O<ky Ee
ej,{T) m ,
e,{t) Versch. Möglichk.: e, (tr) =-M-e,, (1) + e,, (1)
Multiplizierer rein elektronisch
elektromechanisch mit z.B. M=1072 V-1
e2/r)
FG fo | 2-B.: e, =! (e,)
ej & Relaisschalter, ° ’
. Diodenschaltung,
Funktionsgenerator 4 x-y-Schreiber mit
e,
= ye me Abtastvorrichtung
[u
Lösung von
7 Diff.-Gleich. eg = f(r)
€ mu oder s.o.
to
Schreibendes Meßgerät I! eo = f (7)
7 =>
Bild 2.1. Symbole der Recheneinheiten
200
Durch eine aus n-Integratoren bestehende Integrationskette
kommt man somit von y™) nach Y. Aus diesen erhaltenen
Größen baut man nun rückwärts wieder entsprechend der Ma-
schinengleichung yo auf und hat damit die Maschinen-
gleichung erfüllt,
3. DIE METHODE DER TRENNUNG DER
VERÄNDERLICHEN
Die Anwendung der Lösungsmethode der Trennung der Verän-
derlichen ist für lineare Systeme wegen der Gültigkeit des
Superpositionsprinzips zulässig. Mit dieser Methode formen
wir eine partielle Differentialgleichung in ein System gewöhn-
licher Differentialgleichungen um. Man geht davon aus, daß
die Lösung der partiellen Differentialgleichung von z.B. zwei
unabhängigen Veränderlichen x und t als eine Kombination
zweier Funktionen f(x) und fo(t) dargestellt werden kann,
f,(x) soll nur von x und fo(t) soll nur von t abhängen, Mit
diesem Ansatz geht man in die ursprüngliche partielle Diffe-
rentialgleichung, In vielen Fällen ist es nunmehr möglich,
einen Ausdruck für f}(x) und deren Ableitungen von einem
Ausdruck für fo(t) und deren Ableitungen zu trennen. Die
einzige Möglichkeit für die gleichzeitige Existenz dieser Aus-
drücke in einer Gleichung für beliebige x und t-Werte ist
die, daß beide gleich einer Konstanten sind, So kommen wir
zu zwei gewöhnlichen Differentialgleichungen für x und t.
Die Konstante bezeichnen wir mit A . Die verschiedenen
Lösungsfunktionen müssen die Randbedingungen erfüllen, Dies
ist jedoch nur für bestimmte Werte von A der Fall. Die so
ermittelten Werte A werden die Eigenwerte des Problems
genannt. Die zugehörigen Lösungsfunktionen sind die Eigen-
funktionen. Die vollständige Lösung des Problems ergibt sich
aus der Summe aller Eigenfunktionen, Als Beispiel sei die
eindimensionale Wärmeleitungsaufgabe
au Bu
axe ot
betrachtet. Ein isolierter Stab der Lange |= 6m und der
Anfangstemperatur U,(x) = 100 °c mit der Materialkonstan-
s .
ten c= 1074 me sei gegeben. Die Temperaturverteilung
u(x,t) des Stabes als Funktion der Zeit t und des Ortes x ist
gesucht, wenn den Enden des Stabes zur Zeit t= 0 eine Tem-
peratur von 0°C aufgezwungen wird,
Wir versuchen mit dem Produktansatz
us 9 : fo) (3.1)
die Trennung der Veränderlichen zu erhalten.
Geht man mit diesem Ansatz in die partielle Differential-
gleichung, so ergibt sich:
ar (x) df_(t)
fi) . mm = c £0) dt (3.2)
oder
der df
1 19 99
(3.3)
. a
Fi) ax f(t) dt
Soll die gesuchte Lösung in der gesamten x-t-Ebene gelten,
so müssen beide Seiten gleich einer Konstanten sein. Bezeich
nen wir diese mit -A, so gelten die folgenden gewöhnlichen
Differentialgleichungen :
2
d £9)
—z- + Aft (H = 0 (3.4)
dx
dr)
ar + A) =0 (3.5)
Die Methode der Trennung der Veränderlichen führt im allge-
meinen auf ähnliche Ausdrücke. Das Wesentliche an diesen
Gleichungen ist der Parameter A , Die verschiedenen Werte 1,
die diese Gleichungen und die vorgegebenen Randbedingungen
des Problems erfüllen, sind die Eigenwerte des Problems. Die
Lösungsfunktionen fj(x) und fo(t) mit den Parametern 1,
sind die Eigenfunktionen des Problems. Man erhält z.B. Lö-
sungen folgender Form:
f 9 = A, sin V?n "X (3.6)
An
- at
xO) = BT e (3.7)
Da unendlich viele Eigenwerte des Problems auftreten können,
ergibt sich die Lösung allgemein zu:
@ _
u(x, t) -> A, . a (sin ( ya. -xle
n=1
An
< t
(3.8)
Theoretisch kommen zwar unendlich viele Eigenwerte in
Betracht, es geniigt jedoch vielfach bei technischen Prob-
lemen die Berücksichtigung von einigen der niedrigsten Eigen-
werte, um zu brauchbaren Ergebnissen zu kommen, Durch
Differentiation von Gl. 3,8 läßt sich zeigen, daß die Lösung
die Differentialgleichung erfüllt.
Auch bei partiellen Differentialgleichungen mit mehr als zwei
unabhängigen Veränderlichen kann die Methode der Trennung
der Veränderlichen angewendet werden.
Gl. 3.1 liefert uns somit die beiden gewöhnlichen Differen-
tialgleichungen 3.4 und 3.5, die mit dem elektronischen
Analogrechner zu lösen sind,
Nach Durchführung der Zeit- und Amplitudent ansformation
erhalten wir gemäß den in Abschnitt 2 gewoffenen Verein-
barungen:
x FO Hg TH = 0
x —m—— =
ay 19 1
(3.9)
oder
FG - Be! roa
O = “Aw 1
Im Bild 3,1 ist die zugehörige Rechenschaltung gezeigt:
we Miro) f, Kl gro)
k fy! K (x) of, (x)
||, 1 2 1 > f
! ı I _ ator
re me hay hoe ac," me yy
a
N Se
NS zu
Bild 3,1
Von den Randbedingungen u(0,t) und u(1,t) der partiellen
Differentialgleichung geht bei der Lösung mit dem elektro-
nischen Analogrechner für x = const. = 0 u(0,0) als Anfangs-
bedingung und u(1,0) als Randbedingung in die Differential-
gleichung 3.4 ein, Die Wahl der zweiten Anfangsbedingung
u'(0,0) ist beliebig. Sie muß nur ungleich 0 sein; ihre Größe
hat keinen Einfluß auf die Bestimmung des Eigenwertes, Ge-
sucht sind nunmehr die Werte A die auch die zweite Rand-
bedingung erfüllen. Die Einstellung des Potentiometers 1
wird solange geändert, bis auch die zweite Randbedingung
erfüllt ist. Aus den verschiedenen A N -Werten lassen sich bei
vorgegebenen Hp, und & 9) die Werte An ermitteln. Es
ergeben sich in diesem Fall alle ganzzahligen Vielfachen des
ersten A-Wertes, Der Analogrechner liefert gleichzeitig noch
die Eigenfunktionen, Durch Versuch und Fehlerbetrachtung
muß nunmehr diejenige Linearkombination der Eigenfunktio-
nen gesucht werden, die die Funktion u(x, 0) am besten an-
nähert, Wegen des symmetrischen Aufbaues der Funktion
1
u(x, 0) (symmetrisch zu g) kommen in diesem Fall nur die
symmetrisch zu Le liegenden Sinusfunktionen in Frage, also
341,54 4; 741 ....; die Bestimmung der Amplituden
der Eigenfunktionen ist relativ umständlich, da für n-Werte
auch n-Schaltungen entsprechend Bild 3.1 aufgebaut werden
mussen,
Mit den ermittelten A „Werten hat nunmehr die Lösung der
Gleichung 3.5 auf dem elektronischen Analogrechner zu er-
folgen. Nach Durchführung einer Zeit- und Amplitudentrans -
formation erhalten wir;
Im-- am
& QD = 77T ©, 2
oder (3.10)
Foo = _ fn In fo
( Wr und & 09 sind Amplitudenmaßstabsfaktoren).
Für Gl, 3,10 ist im Bild 3,2 die Rechenschaltung aufgebaut.
Als Lösungsfunktion erhalten wir exponentiell abnehmende
Funktionen, wobei die Abnahme mit vom jeweiligen A Wert
abhängt, Baut man für jeden A „Wert eine Schaltung ent-
sprechend Bild 3.2 auf, so sind wir in der Lage, die Lösung
auf dem Analogrechner für jedes beliebige x als Funktion der
Zeit t darzustellen. Die Genauigkeit hängt nur von der An-
zahl der berücksichtigten A -Werte, d,h. der Güte der Funk-
tionsannäherung u(x,0) und der Genauigkeit der Rechenein-
201
heiten ab, Durch Hinzunahme weiterer Einheiten kann die
Genauigkeit beliebig erhöht werden, Praktisch beschränkt die
Ungenauigkeit der Recheneinheiten die erzielbare Genauigkeit.
Bild 3.2
Da wir sowohl die x-Abhängigkeit als auch die t-Abhängig-
keit auf dem gleichen elektronischen Analogrechner darstel-
len, können wir stets nur die x-Abhängigkeit für konstantes t
oder die t-Abhängigkeit für konstantes x zur Darstellung
bringen. Man geht praktisch so vor, daß man die Rechenkrei-
se I so lange rechnen läßt bis der gewünschte x-Wert erreicht
ist und fixiert durchdenSchalter A diesen Zustand f(x); (Bild 3.3).
Anschließend wird der Schalter B geschlossen und die Multi-
plikation durchgeführt, Am Ausgang des Summierers erscheint
dann eine der Lösungsfunktion u proportionale Spannung für
x= const, als Funktion der Zeit, Läßt man zuerst den Rechen-
kreis II arbeiten und hält den Rechenprozeß bei einem be-
stimmten Zeitwert an, so erhält man nach der Betätigung von
Schalter A am Ausgang des Summierers eine zu u proportiona-
le Spannung für t= const, als Funktion von x.
Für viele Aufgaben ist es von Vorteil, die Eigenwerte und
Eigenfunktionen mittels Fourier-Analyse zu bestimmen, Die
Bestimmung der Amplituden und Frequenzen der verschiede-
nen Sinusschwingungen rein rechnerisch oder mechanisch mit
dem Harmonischen Analysator oder elektrisch mit dem elek-
tronischen Analogrechner unter Verwendung eines allgemeinen
Funktionsgenerators ist weniger umständlich und führt zu
genaueren Ergebnissen als die Ermittlung der Amplituden durch
Versuch und Fehlerbetrachtung, Der Lösungsgang der Aufgabe
wäre zweckmäßig folgender:
1, Fourierdarstellung der Funktion u(x, 0).
2. Aufbau der Rechenkreise I, und IL, für die erhaltenen
Eigenwerte entsprechend Bild 3.3.
3, Abschätzung des Fehlers bei Verwendung von n-Rechen-
kreisen.
4, Lösung der partiellen Differentialgleichung für t= const,
x beliebig oder x= const, und t beliebig.
Dieser Lösungsgang hat noch folgenden Vorteil: Anstelie der
Rechenschaltungen I, kann die in Bild 3,4 angegebene Re-
chenschaltung mit nur einem Verstärker zur Erzeugung einer
Sinusschwingung vorgegebener Amplitude, Frequenz und
Phase verwendet werden, Hierdurch werden bei n-Rechen-
kreisen insgesamt zwei-n Verstärker eingespart, Bei vor-
gegebener und beschränkter Verstärkerzahl läßt sich hier-
durch die Anzahl der verwendbaren Rechenkreise für die
darzustellenden Eigenfunktionen verdoppeln. Für die Schal-
tung entsprechend Bild 3,4 ergibt sich bei Anschalten einer
Gleichspannung e,= - U zur Zeit T= 0 unter der Bedingung
i, = 0 und bei Verwendung eines Gleichspannungsverstärkers
mit sehr hohem Verstärkungsfaktor V (V > 10%) folgender
Ausdruck für die Ausgangsspannung e, als Funktion der Zeit
202
| *% I; I
|
n 4
[ 3 ,
| # n 8; |
_=-_____ _ %_|
| In-ı Murder
bee — — — eet
Ucsto)
Uc 30)
.—
Bild 3.4
1
=(U+U (0) +2 0) + in —
eo [ 19 U0) vr, sin Zt
1
+, + U] cos = t (3.11)
RC
Mit dieser Schaltung sind wir also in der Lage, Sinusfunk-
tionen oder Cosinusfunktionen bestimmter Frequenz und
Amplitude zu erzeugen, Die Frequenz cw ist bestimmt durch
die Wahl von R und C.
Es gilt;
(3/12)
Die Amplitude der Sinus- und Cosinusfunktion können wir
durch die Größe der Gleichspannungen U; U 0: Ui:
c
U (0) und U (0) bestimmen,
c3 c4
Es ist zweckmäßig für die Amplitude der Sinusschwingung nur
mit U und für die der Cosinusschwingung nur mit Uoz(0) zu
arbeiten. Alle anderen Spannungsquellen mögen nicht vor-
handen sein. Hierdurch benötigt man erstens nur zwei Span-
nungsquellen und zum anderen erhält man einfache Einstell-
möglichkeiten für die Erzeugung beliebiger Amplituden und
Phasen,
Durch die Anwendung des Uberlagerungssatzes haben wir die
Möglichkeit, eine komplizierte Aufgabe aus einfachen Teil-
Bild 3,3
aufgaben aufzubauen und die Einzellösungen zu überlagern,
Eine Aufgabe mit beliebigen Anfangsbedingungen und unter-
schiedlichen aber konstanten Randbedingungen führen wir auf
die folgenden Teilaufgaben zurück:
a) Reines Anfangswertproblem ; Randwerte Null,
b) Reines Randwertproblem ; Anfangsbedingung und zweiter
Randwert Null,
c) Reines Randwertproblem ; Anfangsbedingung und erster
Randwert Null,
Unter der Annahme, daß LOsungswerte erst ab Erreichen
gewisser t-Werte interessant sind, ist es wünschenswert, eine
Fehlerabschätzung bei Berücksichtigung einer endlichen An-
zahl von Grundrecheneinheiten durchzuführen, Bei Verwen-
dung von Quotientenkriterien ist in vielen Fällen eine Ab-
schätzung der Teilsummen und der Fehler möglich. Der
Zusammenhang zwischen Anzahl der Recheneinheiten und
Genauigkeit führt im allgemeinen auf transzendente Glei-
chungen, deren Auswertung zweckmäßig in Tabellen oder
graphisch erfolgt.
Die Methode der Trennung der Veränderlichen hat den großen
Vorteil, daß man die Lösungsfunktionen z.B. für jeden belie-
bigen x-y-Wert darstellen kann. Dies ist bei der im nächsten
Abschnitt angegebenen Methode der Um formung partieller
Differentialgleichungen mittels Differenzenquotienten in ein
System gewöhnlicher Differentialgleichungen nicht möglich.
Außerdem gestattet die Kombination der exakten Eigenwert-
und Eigenfunktionsbestimmung mittels Fourieranalyse und der
anschließende Aufbau der entsprechenden Rechenkreise, Feh-
lerabschätzungen durchzuführen und die Bestimmung der
erforderlichen Anzahl von Rechenkreisen bei einer vorgegebe-
nen oder gewünschten Genauigkeit.
4, DIE UMFORMUNG PARTIELLER DIFFEREN-
TIALGLEICHUNGEN MITTELS DIFFERENZEN-
QUOTIENTEN
Die Umformung partieller Differentialgleichungen mittels
Differenzenquotienten in ein System gewöhnlicher Differen-
tialgleichungen ist die bei Analogrechnern fast ausschließlich
angewandte Methode. Während man bei der Lösung partieller
Differentialgleichungen in der numerischen Mathematik jeden
vorkommenden Differenzenquotienten ersetzt, läßt man bei
der Lösung mit dem elektronischen Analogrechner stets noch
Ableitungen nach einer unabhängigen Veränderlichen bestehen,
Aus diesem Grunde sind die Abschätzmethoden der numerischen
\tathematik nicht zu verwenden. Im weiteren werden vorzugs-
weise nur partielle Differentialgleichungen mit zwei unab-
hängigen Veränderlichen betrachtet. Bezeichnen wir diese
mit x und y, so werden wir später derjenigen Veränderlichen
die Maschinenzeit T zuordnen, die wir nicht durch Differen-
zenquotienten ersetzen.
Beim Differenzenverfahren teilt man ein vorgegebenes Inter-
vall (a,b), in welchem die Lösung gesucht wird, in n äqui-
distante Abschnitte Ax ein. Ax wird die Maschenweite
oder Schrittweite genannt und auch mit h bezeichnet.
Beim Differenzenverfahren werden jetzt Bestimmungsglei -
chungen für die Näherungswerte Y, an der Stelle x; =atiäx
aufgestellt,
Hierzu werden in den Differentialgleichungen für diskrete Yi
die Differentialquotienten durch einfache oder verbesserte
Differenzenquotienten ersetzt.
Der Differentialquotient ist der Grenzwert des Differenzen-
quotienten, Für den 1, und 2, Differentialquotienten giltz.B.
d + Ax) - y(x
dy _ yx = yo) (4.1)
dX A x30 x
2
dy_ lim yx t+ 2 Ax) - 2y(x + Ax) t y(x) (4.2)
dx? Ax=0 (Ax)? ,
Die Teilung der x-Achse in äquidistante Abschnitte ist nicht
erforderlich, im allgemeinen aber zweckmäßig, Ändert sich
die Abschnittsweite von Punkt zu Punkt, so muß der Wahl des
Differenzenquotienten besondere Aufmerksamkeit geschenkt
werden. Bei der Darstellung des Differentialquotienten in
Gl. 4.1 und 4,2 wurde der Differentialquotient an der Stelle
x durch Funktionswerte an der Stellex,xtAxu.xt2 Ax
ausgedrückt, Derartige Differenzenquotienten bezeichnet man
üblicherweise als vorwärtsgenommene oder vordere Differen-
zenquotienten. Würde man z.B. die Stellen x + Ax;
x
xt 5 und x - Ax zur Bildung des Differenzenquotienten
heranziehen, so erhält man den zentralen Differenzenquotien-
ten. Der Differenzenquotient, der sich bei Verwendung der
Stellen x, x - Ax und x -2Ax ergibt, wird entsprechend
mit rückwärtsgenommener oder rückwärtiger Differenzen -
quotient bezeichnet.
Für hinreichend kleines A x wird die Annahme als berechtigt
angesehen, daß die mittels Differenzenquotienten ermittelte
Lösung eine brauchbare Näherung der partiellen Differential-
gleichung darstellt, Eine Verkleinerung der Intervallbreite
bedeutet beim Digitalrechner nur eine Vergrößerung der
Rechenzeit, Beim elektronischen Analogrechner bedeutet
jedoch z.B. eine Verdopplung der Anzahl der Abschnitte auch
eine Verdopplung der Anzahl der Recheneinheiten. Aus die-
sem Grunde kommt den verbesserten Differenzenquotienten
eine erhöhte Bedeutung zu.
203
Bei der Herleitung der einfachen und verbesserten Differenzen-
quotienten gehen wir aus von der Entwicklung einer Funktion
y(%x9 + A x) in eine Taylorreihe um den Punkt x, . Es gilt:
y (%) "RI
yx, tA x) = ya at Art Art...
ts )
+—— (49 (4.3)
Durch Auflösen nach y (9) ergibt sich:
x, +Ax) - y&,)
Ax
y' (x) =
dy u
Xx= x
Ersetzt man also den Differentialquotienten
0)
an der Stelle x= x, durch den sogenannten einfachen Diffe-
y(xy FAX) - y(xy)
Ax
einen Fehler entsprechend der Größe der Summe sämtlicher
vernachlässigter Glieder aus Gl. 4.4. Der Fehler wird mit
kleiner werdendem Ax kleiner, aber die Konvergenz ist
schlecht. Die Konvergenz würde wesentlich besser, wenn auch
noch die zweite oder dritte Ableitung yg bzw. yg inGl. 4.4
durch Differenzenquotienten ersetzt würden, Dieser Weg wird
bei der Herleitung verbesserter Ausdrücke für den Differenzen-
quotienten, sogenannte verbesserte Differenzenquotienten,
beschritten.
renzenquotienten , so machen wir
Ausgehend von der Taylorentwicklung einer Funktion
y,= y¥& ti A x) um den Punkt xp:
Y Ay?
; . GAX) @
EAN yF a4 Pr (= Xp) (4.5)
bilden wir eine Linearkombination der verschiedenen y, mit
geeigneten Koeffizienten a, Die Näherung wird umso besser,
je mehr Punkte zur Darstellung des Differenzenquotienten her-
angezogen werden. Die Koeffizienten a, werden nunmehr so
bestimmt, daß möglichst viele der dem durch einen Differen-
zenquotienten zu ersetzenden Differentialquotienten folgenden
höheren Ableitungen der Taylorentwicklung keinen Beitrag
zum Differenzenquotienten ergeben.
Tabelle 1 gibt eine Zusammenstellung der am häufigsten
gebrauchten Differenzenquotienten. Gleichzeitig ist der Aus-
druck des nächsten nicht verschwindenden Gliedes der Taylor-
entwicklung mit angegeben. Umfangreichere Tabellen
siehe [5] .
Für jeden der Differenzenausdrücke entsprechend Tabelle 1
läßt sich ohne großen Aufwand die zugeordnete Rechen-
schaltung angeben.
204
Ausdruck des nachsten
nichtverschwindenden
Ableitung Differenzenausdruck Gliedes der Taylor-
Entwicklung
? i ( - ) - Ax [27
% Ax 17% 2 °
1 (4x21...
gax 9°? 6 ly;
1 (Ant — (5)
-y + - +
12 4x CY, By, sy 4 Y_9) 30 Yo
1 An m
-gy + . + - EI
oax N EV FW ZT Yz) 10 0
1 (Ax?
- + - rr
gax WW) 3 Yo
1 (Ax? (A
- + -9y_ + ee
Bax re, 9, * 2¥5) 4 %
1 5 (4)
_—— -2 - + . -_— 3
BAx CL 8¥9 7 81 * Yq) 36 (ANY,
1 (Ant ©
- - + - + ar
12x 1 H18y, - by, F¥4) 20. +o
r Ly cay ty) Ay? (4
0 (an Yı “Yo TY 2 %
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_ + - + . i 4 (6)
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ty. + - . 2
% 20408 ya +3, -¥ 4) „Ar Yo
(ey +8y -13y +13y -8y ty.) — Ayty
(A x8 da MTV OV TV 129 1%) “Yo
IV
y — wy aw +e - + wi 2 (6)
0 (ax? V7 47, +8) - tyg) g (AX y,
Da auf das nach dem Einführen des Differenzenquotienten sich
ergebende Differentialgleichungssystem im allgemeinen eine
Tabelle 1
Zeit- und Amplitudentransformation angewendet werden muß,
sind zur Dimensionierung der Schaltelemente stets die Maß-
stabsfaktoren erforderlich. Die Differenzenausdrücke nach
Tabelle 1 werden normalerweise nicht erst ineinem Summie -
rer gebildet und erst dann einem Integrator zugeführt, sondern
man verwendet Summenintegrierer,um Verstärker zu sparen.
Um den grundlegenden Aufbau einer Rechenschaltung für eine
partielle Differentialgleichung zu zeigen, sei eine Warme-
leitungsaufgabe betrachtet.
Das Verhalten der wärmeleitung wird durch die partielle
Differentialgleichung
2
0 wed = c 0 u(x, t) (4.6)
Ox at
al
mit c= ~~ beschrieben,
Die als örtlich und zeitlich unveränderlich angenommenen
Konstanten haben folgende Bedeutung:
Hw = wärmeleitfähigkeit
¢@ = Dichte
c= spezifische Wärme
Die Größe U(x,t)
meleiters, d.h. eines Stabes verschwindender Dicke oder auch
stelle die Temperatur eines linearen Wär-
eines veränderlichen Leiters dar, bei welchem die Tempera-
tur nur von einer Raumkoordinate abhängt. Der uns interessie-
rende Verlauf eines gegebenen Stabes bestimmter Länge
de x<l soll für die folgenden Anfangs- und Randbedingungen
ermittelt werden:
a) Anfangsbedingungen: U(x, +0)= u, = 100 °c
o
b) Randbedingungen: Ur0,0= AD = 0 C fürt>0
U -0,1)= A= 0°C fürt>o.
Der Stab der Lange 1= 6m und mit einem C= 0,1 s/m®
möge am Anfang und Ende Kontakt mit Wärmespendern haben,
die die Enden auf Temperaturen halten, die grundsätzlich mit
der Zeit variieren dürfen, Wir nehmen zuerst den leicht über-
blickbaren Fall, daß diese Temperaturen am Anfang und Ende
des Stabes konstant sein sollen.
Gesucht ist die Temperaturverteilung U(x, t) für t>0.
Da wir von der Differenzenmethode Gebrauch machen wollen,
ermitteln wir den Temperaturverlauf U(t) an diskreten Stel-
len i. 4x mitz,.B. Ax=1m und 12125.
Nach Einführung des einfachen Differenzenquotienten für
2
Ulx,t . .
a ER ) ergibt sich für Gl. 4.6 der folgende allgemeine
Ausdruck
U -2U TU
a om i ntl n n-1
dt c cAw®
lll see lily
Uo Uy Up Us; Ue Us
Yh’
Bild 4,1
205
Durch die Aufteilung des Stabes in sechs Abschnitte entspre-
chend Bild 4.1 erhalten wir für die Punkte x] * x, das fol-
gende System von Differentialgleichungen
du U_-2U +U
1 12 1 0
dtc (Ax)?
du uU_-2U_+U
“2173 1
dtc (Ax?
du U,-2U,+U,
—-- 4.7
dt Cc (Aw)? (4.7)
dU U-2U +U
4 105 4 3
dc (An)?
du U, -2U FU
5 1 5 4
dtc (An?
Die Randbedingungen stellen die Temperaturen an den beiden
Enden x= 0 und x= 1 dar. Dieses Gleichungssystem ist nun-
mehr auf dem elektronischen Analogrechner zu lösen. Da wir
ein völlig symmetrisches System vor uns haben und U,(t) =
Uj)() = 0 °C ist, vereinfacht sich der Schaltungsaufbau ganz
erheblich. Es ist nämlich:
Uj = um
U, = UO
Es genügt also die Lösung dem folgenden Differentialgleichungs-
system:
du U_-2U_+U
_ 2 1.0
dt c© (Ax)
du uU -2U_ +
123 2 4.8
dt c (Aw® -®)
du 2U_ - 2U
1 2 3
dt Cc (Ax?
Zum Entwurf der Rechenschaltung haben wir den Ubergang zu
den Maschinengrößen zu machen, Die Temperaturen an den
verschiedenen Punkten x, , Xo und Xe werden durch Spannun-
gen gegen Erde dargestellt.
Für die Zeit- und Amplitudentransformation soll gelten:
T=Me-t (4,9)
U= aU (4, 10)
_ du
_ au 4,11
u la ( )
206
Damit ergibt sich aus Gl, 4,8
A ee ae
& , (Ax) ( 2 1 0)
oalr-
wel
m
Q ye
8
o
a
3
_
a
w
-2U_+U_) (4,12
2 1 ( )
|
u
am
Die Amplitudenmaßstabsfaktoren bestimmen wir wie folgt:
Da die Temperatur zur Zeit t= 0 die hdchstmégliche des
Problems ist, ordnen wir dieser Temperatur die maximale
Spannung des Analogrechners von 100 V zu.
Es soll also gelten;
< —max _ 10V ewahlt o¢ =1 v
ou 100% «8 0 %
max
1
dtlmax An?
eine Übersteuerung erfolgen sollte, müssen wir den Maßstabs-
faktor noch ändern. Es soll also gelten:
Wir versuchen
"U anzusetzen. Falls
max
max 100 V 2, V
as— = «Ay 1 —
ı Una —_, 100°C °c
c( Ax)
Mit diesen Maßstabsfaktoren kommt man vom Gleichungs-
system 4,12 zu folgender Darstellung:
"=u -2u tu
1° 2
10
vs -2u tu 4.13
uy u u u, ( )
u = 2u -2W
3 3
Damit liegt die im Bild 4,2 dargestellte Rechenschaltung fest,
An dem symmetrischen Aufbau erkennt man sofort die Mög-
lichkeit der Erweiterung durch Hinzunahme weiterer Punkte,
Entsprechend der angegebenen Programmierung gilt:
Tv
&
1 0 —
Mr a, (t= 0)
0
Yrs)
U - 1
Go G 7
el
I)
“Up (t20)
Für den einfachen Integrator entsprechend Bild 2.1 gilt
T
er fear te mit k= —
0 i RC
0
Damit ergibt sich e, = -U fir e=U
falls
ye be *
“RC me %ı
und
(T= 0) 0 (t= 0)
Mit den gegebenen Werten ergibt sich unter der Annahme
Mr, = 10 dh. tT =10t:
1 Vv
1 1 °C -
ke =. =1sl bzw. RC=1s
RC 10 s 2 ,¥
9,15'1m lor
m Cc
Wir wahlen C = 1 pF und R= 1 MOhm,
Weiterhin ergibt sich:
Vv
a U =-1—.
0 (t=0) °C
™
100°C = - 100 V
U_=0, dau.=0 °c,
Damit liegt die Schaltung endgültig fest. Wir verwenden
Summenintegrierer. Die vollständige Schaltung ist im
Bild 4.3 dargestellt.
Die Lösungsfunktionen U für die konstanten x-Werte x] = Xs;
Xg= X, und x, sind im Bild 4,4 dargestellt.
Die Schaltung für einen beliebigen Punkt ist in Bild 4,5 noch-
mals dargestellt. Diese Schaltung gilt für den einfachen zen-
tralen Differenzenquotienten.
Gehen wir zum verbesserten Differenzenquotienten über, so
gilt bei ganz entsprechender Wahl der Maßstabsfaktoren::
— |] —— —— — —
‘=—(-U +16U - 30U +16U -
5 2‘ n-2 n-1 n
4.14)
ntı rg) I
ray
Die zugehörige Rechenschaltung ist in Bild 4.6 dargestellt.
*U3 (p20)
Bild 4,2
207
r=0 =] te =] T=0 =100V
IMn EST | un R E= 100V 3
rn 4 et
yu yee per
1MNQ
Bild 4,3
Hs
Tt
U IMA
T=0 f= in (tz0)
1MQ r _ >
Uns —_—_-
IMN Olaf
Unet 4
Bild 4,5
RMN
-Un-2
TSMR _
U,-1 IH r=0 E=Un(reo)
_—a7sma| “¢
n+2 7
_ O4M2Q _
“Un \ OU,
Bild 4,6
Wie die für beide Näherungen auf dem elektronischen Analog -
rechner erzielten Lösungsfunktionen zeigen, stimmen die er-
haltenen Lösungen sehr gut überein, Der maximale Fehler
liegt im Bereich t<0,1s und beträgt bis zu 3 %o. Für Zeiten
t>0,1s liegt der Unterschied zwischen beiden Näherungs-
lösungen unter 1 Oo. Der Fehler ist für den Punkt x; am
größten. Der Unterschied zwischen den Lösungen mittels ein-
fachen und verbesserten Differenzenquotienten wird aber
wesentlich größer, wenn die Funktion u(x, t=0) (d.h. die
Anfangsbedingungen), nicht konstant ist, sondern sich mit
dem Ort ändert, wenn z.B. Ug= - Uy; Ug = Uy; Uy=- Uy
und Us = U, ist. Hier treten bei einfachen Differenzen-
quotienten Fehler bis zu 10 % auf,
5, ABSCHÄTZUNG DES FEHLERS
Für viele mit der Methode der Trennung der Veränderlichen
lösbare Aufgaben läßt sich bei Anwendung des Quotienten-
kriteriums eine Abschätzung der Teilsummen und der Fehler
bei Berücksichtigung einer begrenzten Anzahl von Rechen-
einheiten durchführen. Für die zweite Methode der Lösung
partieller Differentialgleichungen mittels Differenzenquotient
ergeben sich leider nicht derartige Abschätzverfahren, ob-
wohl die Methode selbst übersichtlicher und anschaulicher ist
und fast ausschließlich angewendet wird. Die Fehler beim
Rechnen mit einfachen und verbesserten Differenzenquotienten
sind darin begründet, daß man alle höheren Ableitungen der
Taylor-Entwicklung von einem bestimmten Wert an nicht
mehr berücksichtigt. Daher kommt es, daß Fehlerabschätzun-
gen nicht allgemein gültig sind, sondern bei Variation von
Anfangs- und Randbedingungen neu untersucht werden müssen.
Je nach Art des verwendeten Differenzenquotienten beginnen
die ersten nicht berücksichtigten Glieder mit ( Ax)“ oder
höheren Potenzen von Ax. Die Vernachlässigung ist umso
eher zulässig, je höher‘die Potenz von Ax und je kleiner
Ax ist,
Bei der iterativen Fehlerabschätzung verkleinert man Ax so-
lange, bis eine weitere Unterteilung in x-Richtung auf die
Lösung keinen nennenswerten Einfluß mehr hat, Vielfach lohnt
dieser Weg nicht, da erstens der Aufwand in keinem Verhält-
nis zur Verbesserung der Lösung steht und zweitens die doch
stets vorhandenen Ungenauigkeiten der Rechenkomponenten
diese Verbesserung wieder zunichte machen, Eine Möglichkeit
zur überschlägigen Abschätzung der Restglieder besteht darin,
daß man sich durch graphische Differentiation, z.B. mit dem
Derivimeter, die höheren Ableitungen beschafft,
Die in [10] dargestellte Methode der h? -Extrapolation führt
zu brauchbaren Ergebnissen bei nicht zu großem Aufwand.
Hat man bei Verwendung eines einfachen Differenzenquotien-
ten eine Näherungslösung y(x) erhalten, so wird der Fehler
weitgehend durch das erste nicht berücksichtigte Glied der
Taylorentwicklung verursacht, Dies ist in vielen Fällen von
(An? abhängig.
Unter der Annahme, daß
2
Y¢x, Ax) = fx) t(4Ax) £0) (5.1)
eine gute Näherung darstellt, kann man durch eine geeignete
Kombination zweier Näherungslösungen Yıx 4 x]) und
Yo Ax.) die Fehlerfunktion f,(x) eliminieren.
208
Aus 5
Yo, Ax.) =f) t(Ax) + £00
und
Ax.)=f0 +(dx.)”- f
Yo(x, 4x5) = fm FAR) £00
erhält man
2 2
(4x,) - Y@Ax) - (Ax,) Y,(x, Ax,)
f(x) = (5.2)
2_ 2
(Ax,) (Ax,)
so können wir aus einer Kombination von drei Lösungen für
Ax ,Ax_ und Ax. aus
1 2 3
2 2
Y, (x,4x,)= fo) + (Ax,) f(y) + (Ax) . f, 9
Ax.)= f(x) +(Ax £0) + (Ax)? 5.6
Y, KARIN) + ( x) 19 ( %,) of) 6.9
Y, (x, Ax.) = f(x) + (dx,)" . £9) + x)" . £0)
die Fehlerfunktionen f(x) und fo(x) eliminieren. Nach ent-
sprechenden Umformungen erhält man;
2
2 2 2 2 2
Y - -Y A -Ax ]+tY Ax [Ax - A
Ax, Ax, (Ax, Ax] dx x, [4 x, 4 a) 34%, x, (Ax, xo]
109) = 2. 2 2, 2 2,2 (5.7)
Ax [Ax -4xJ- Ax°-Ax° [Ax -Axj+ Ax" Ax” [Ax - Ax
Ax, 3 [ “9 x] 1 3 I 1 3) 1 2 I 1 a!
Diese Extrapolation läßt sich mit geringem Schaltungsaufwand Für den häufig angewandten Sonderfall, daß
auf dem elektronischen Analogrechner durchführen, Der größte A Ax
Aufwand steckt im Aufbau der zwei Rechenkreise mit unter- A x, = _ und Ax = 1
schiedlicher Schrittweite 4x. Man kann sich aber auch so 3 8
helfen, daß man die erste Näherungslösung von einem x-y-
. . . . . m . ist, erhält man
Schreiber aufzeichnen läßt und diese Funktion später über
einen Funktionsgeneratorzusatz abtasten läßt. Dadurch ist der fix) = 1 Y -1ey +2
erforderliche Verstärkeraufwand nur durch die kleinste Schritt- () = 12 ( 17 Yo 7 Y,) (5.8)
weite Ax bestimmt, Die Multiplikation der zwei Näherungs-
lösungen Y.% A x,) und Yo(x, A Xo) bei gleichzeitiger
Addition wird im Summierer entsprechend Bild 5.1 durch-
geführt.
1 R, Re
¥(x,4X;) {—_}
Rz
Y/xar) o— (7 Hr)
Bild 5,1
Für die Dimensionierung der Schaltelemente muß gelten:
R 2
1 (Ox) (5.3)
. = pa A 5 .
R, (A %,) ( x)
. > Z ı B
R, (A x.) (4x,)
Hat die Extrapolation aus zwei Näherungslösungen noch kein
befriedigendes Ergebnis gezeigt, so muß man Ax noch weiter
verkleinern. Entsprechend der iterativen Fehlerabschätzung
wird man im allgemeinen zu genaueren Lösungsfunktionen
kommen,
Nehmen wir an, daß die Lösungsfunktion allgemein in der
folgenden Form geschrieben werden kann:
Y(x, Ax) = f(x) +(A x)" £09 +(A 9° f, (5.5)
Die Multiplikation der drei Näherungslösungen Y,, Yo und Y,
bei gleichzeitiger Addition entsprechend Gl. 5.8 wird im
Summierer entsprechend Bild 5.2 durchgeführt,
fix)
Bild 5.2
Für die Dimensionierung der Schaltelemente muß gelten;
R
Foti
R. 12
1
R
F_4
R. 3
2
R
F_3
R 4
3
Ax, Ax;
Der Sonderfall Ax = und Ax = — liefert
2 34
1 12 11
f(x)=—Y -— +1—Y 5.9
CO= 7 Ya ar Yet tar %s (6.9)
Bei Verwendung des zentralen Differenzenquotienten fiir die
erste Ableitung:
1
nat.
2 4
„am AN MN a6)
3! 0 5! 0
würden bei der Extrapolation aus zwei Näherungslösungen erst
Glieder ab der 5. Ordnung eine Rolle spielen. Die Berück-
sichtigung einer dritten Rechnung ergibt eine Näherung, bei
der erst Glieder von der 7, Ableitung an Fehler verursachen
können.
Ganz entsprechend läßt sich die Extrapolation aus zwei oder
drei Näherungslösungen zum Erhalt einer genaueren Lösung bei
Verwendung verbesserter Differenzenquotienten anwenden und
führt selbstverständlich zu Ergebnissen, bei denen erst ent-
sprechend höhere Ableitungen einen Fehlerbeitrag liefern,
Diese Methode der Extrapolation aus verschiedenen Näherungs-
lösungen hat den Vorteil, daß man erstens entsprechend der
iterativen Fehlerabschätzung den Einfluß der kleineren Schritt-
weiten verfolgen kann und zweitens durch eine Kombination
dieser so erhaltenen Näherungslösungen Lösungen erhalten
kann, bei denen der Einfluß der normalerweise bei den Einzel-
lösungen vernachlässigten höheren Ableitungen ganz erheblich
herabgesetzt wird.
6. VERSCHIEDENE DARSTELLUNGSMÖGLICH-
KEITEN DER LÖSUNGSFUNKTIONEN
Je nach dem Aufgabengebiet und der späteren Verwendung der
Lösungsfunktionen sind verschiedene Darstellungen wünschens-
wert, Bei der Lösungsmethode mittels der Trennung der Ver-
änderlichen war es möglich, eine Rechenschaltung anzugeben,
die es erlaubte, für beliebige x-Werte die Lösung als Funktion
von x darzustellen, Die Methode war allerdings beschränkt
auf den Fall konstanter Randbedingungen. Da aber bei den
meisten Problemen nichtkonstante Randbedingungen vorliegen,
=
<= SQ
75
50}
25
Bild 6.1
209
scheidet dieses Verfahren